Які є логарифмічні властивості?

$Кольоровий логотип House of Math$

Меню

Увійти Зареєструватися

Числа та величини

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Алгебра>Логарифми>Про логарифми>Які є логарифмічні властивості?

Як можна побачити нижче, властивостi десяткового логарифма $\log x$ i натурального логарифма $\ln x$ однаковi:

Десятковий логарифм:: $1 0^{\log a} = a$
Натуральний логарифм:: $e^{\ln a} = a$

Це стосується всiх логарифмiв iз будь-якою основою.

Правило

Властивостi десяткового логарифма

Перша логарифмiчна властивiсть:

\log (a^{x}) = x \log a

Друга логарифмiчна властивiсть:

\log (a \cdot b) = \log a + \log b

Третя логарифмiчна властивiсть:

\log (\frac{a}{b}) = \log a - \log b

Правило

Властивостi натурального логарифма

Перша логарифмiчна властивiсть

\ln (a^{x}) = x \ln a

Друга логарифмiчна властивiсть

\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b

Третя логарифмiчна властивiсть

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

Приклад 1

Спрости $\log a^{2} + \log b^{2} - 2 \log a$

$\begin{array}{l} \log a^{2} + \log b^{2} - 2 \log a & = 2 \log a + 2 \log b \\ - 2 \log a \\ = 2 \log b \end{array}$

$\begin{array}{l} \log a^{2} + \log b^{2} - 2 \log a & = 2 \log a + 2 \log b - 2 \log a \\ = 2 \log b \end{array}$

Приклад 2

Спрости $\log a b + \log b^{2} - \log a^{2} b$

$\begin{array}{l} \log a b + \log b^{2} - \log a^{2} b & = \log a + \log b + 2 \log b \\ - (\log a^{2} + \log b) \\ = \log a + 3 \log b - \log a^{2} \\ - \log b \\ = \log a + 2 \log b \\ - 2 \log a \\ = - \log a + 2 \log b \end{array}$

$\begin{array}{l} \log a b + \log b^{2} - \log a^{2} b & = \log a + \log b + 2 \log b - (\log a^{2} + \log b) \\ = \log a + 3 \log b - \log a^{2} - \log b \\ = \log a + 2 \log b - 2 \log a \\ = - \log a + 2 \log b \end{array}$