Що таке корені комплексного числа?

$Кольоровий логотип House of Math$

Увійти Зареєструватися

Числа та величини

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Числа та величини>Числа>Комплексні числа>Обчислення>Що таке корені комплексного числа?

Число $- 1$ не має дiйсних квадратних коренiв, тому що не iснує дiйсних чисел, якi в разi множення самих на себе дають вiд’ємний добуток. Щоб подолати цю перешкоду, потрiбно визначити уявне число $i$ як квадратний корiнь $- 1$ . Використовуючи $i$ , можна показати, що можливо добути загальний корiнь $n$ -го степеня з усiх чисел, включно з комплексними числами:

Теорiя

Визначення кореня $n$ -го степеня

Комплексне число $w$ — це корiнь $n$ -го степеня $z$ , якщо $w$ задовольняє умову

w^{n} = z .

Корiнь $n$ -го степеня з числа $z$ — це число, яке в разi множення самого на себе $n$ разiв дає $z$ . Щоб добути корiнь $n$ -го степеня комплексного числа $z$ , доцiльно записати $z$ в тригонометричнiй формi. Якщо записати $z = r e^{i 𝜃}$ , можна легко знайти число $w_{0}$ , яке задовольняє визначення кореня $n$ -го степеня, використовуючи правила пiднесення до степеня:

w_{0} = {(r e^{i 𝜃})}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{𝜃}{n}} .

Щоб знайти корiнь $n$ -го степеня $z$ , треба добути корiнь $n$ -го степеня норми $z$ i подiлити аргумент $z$ на $n$ . Також можна знайти iншi коренi $n$ -го степеня $z$ , тому що тригонометрична форма $z$ не унiкальна.

Обертання на $2 π$ радiан не змiнює значення $z$ , тому можна записати

z = r e^{i (𝜃 + 2 π \cdot k)}

для довiльного цiлого $k \in ℤ$ . Використовуючи правила пiднесення до степеня, можна отримати загальний вираз для коренiв $n$ -го степеня $z$ :

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)} .

Кожне цiле число $k$ дає нам новий корiнь $n$ -го степеня $w_{k}$ , якщо $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . Якщо $k$ дорiвнює $n$ або бiльше, ми бiльше не отримуватимете новi коренi $n$ -го степеня. Це тому, що ми тепер обернулися на $2 π$ радiан й повернулися у вихiдну точку $w_{0}$ .

Формула

Корiнь $n$ -го степеня

Для кожного комплексного числа $z = r e^{i 𝜃} \neq 0$ iснує $n$ рiзних коренiв $n$ -го степеня $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ , заданих формулою

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)},

для цiлого числа $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 .$

Кожен корiнь $n$ -го степеня $z$ має однакову норму, а рiзниця аргументiв мiж $w_{k}$ i $w_{k - 1}$ дорiвнює $\frac{2 π}{n}$ . Якщо нам вiдомо $w_{k}$ , можна знайти $w_{k + 1}$ за допомогою формули

w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k},

де $w_{+} = e^{i \frac{2 π}{n}}$ . Це пов’язано з тим, що множення на $w_{+}$ можна розглядати як обертання на $\frac{2 π}{n}$ радiани на комплекснiй площинi.

Стратегiя добування кореня $n$ -го степеня $z$ полягає в тому, щоб спочатку знайти $w_{0} = z^{\frac{1}{n}}$ , а потiм iншi коренi $n - 1$ степеня, помноживши на $w_{+}$ .

Приклад 1

Добудь коренi четвертого степеня iз $z = - 81$

Щоб добути коренi четвертого степеня, доцiльно записати $z$ у тригонометричнiй формi. Тут норма $r = 81$ , а аргумент $𝜃 = π$ . Отже, в тригонометричнiй формi $z$ можна записати так:

z = 81 e^{i π} .

Далi можна знайти $w_{0}$ :

w_{0} = z^{\frac{1}{4}} = 3 e^{i \frac{π}{4}},

i $w_{+}$ :

w_{+} = e^{i \frac{2 π}{4}} = e^{i \frac{π}{2}} .

Тепер можна знайти iншi коренi, використовуючи залежнiсть $w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k}$ :

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} = 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} = 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

Оскiльки в умовi завдання дано число

z

, записане в алгебраїчнiй формi, вiдповiдь також треба надати в алгебраїчнiй формi. В алгебраїчнiй формi коренi четвертого степеня iз

z

такi:

\begin{array}{l} w_{0} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i, \\ w_{1} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i, \\ w_{2} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i, \\ w_{3} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i . \end{array}

Оскiльки всi коренi $n$ -го степеня числа мають однакову норму, коренi $n$ -го степеня $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ рiвномiрно розподiленi по колу на комплекснiй площинi. Коренi четвертого степеня з $81$ , що показує Приклад 1 на комплекснiй площинi лежать на колi з радiусом $3$ , а кут мiж коренями становить $\frac{π}{2}$ радiани:

Коренi четвертого степеня з 81, зображенi на комплекснiй площинi.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як можна спростити складні дроби

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Що таке формула Муавра та як її використовувати?

Визначення кореня n-го степеня

Корiнь n-го степеня

Що таке корені комплексного числа?

Визначення кореня $n$ -го степеня

Корiнь $n$ -го степеня