Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Число 1 не має дiйсних квадратних коренiв, тому що не iснує дiйсних чисел, якi в разi множення самих на себе дають вiд’ємний добуток. Щоб подолати цю перешкоду, потрiбно визначити уявне число i як квадратний корiнь 1. Використовуючи i, можна показати, що можливо добути загальний корiнь n-го степеня з усiх чисел, включно з комплексними числами:

Теорiя

Визначення кореня n-го степеня

Комплексне число w — це корiнь n-го степеня z, якщо w задовольняє умову

wn=z.

Корiнь n-го степеня з числа z — це число, яке в разi множення самого на себе n разiв дає z.

Щоб добути корiнь n-го степеня комплексного числа z, доцiльно записати z в тригонометричнiй формi. Якщо записати z=rei𝜃, можна легко знайти число w0, яке задовольняє визначення кореня n-го степеня, використовуючи правила пiднесення до степеня:

w0=(rei𝜃)1n=r1nei𝜃n.

Щоб знайти корiнь n-го степеня z, треба добути корiнь n-го степеня норми z i подiлити аргумент z на n. Також можна знайти iншi коренi n-го степеня z, тому що тригонометрична форма z не унiкальна.

Обертання на 2π радiан не змiнює значення z, тому можна записати

z=rei(𝜃+2πk)

для довiльного цiлого k. Використовуючи правила пiднесення до степеня, можна отримати загальний вираз для коренiв n-го степеня z:

wk=r1nei(𝜃n+2πnk).

Кожне цiле число k дає нам новий корiнь n-го степеня wk, якщо k=0,1,2,,n1. Якщо k дорiвнює n або бiльше, ми бiльше не отримуватимете новi коренi n-го степеня. Це тому, що ми тепер обернулися на 2π радiан й повернулися у вихiдну точку w0.

Формула

Корiнь n-го степеня

Для кожного комплексного числа z=rei𝜃0 iснує n рiзних коренiв n-го степеня w0,w1,w2,,wn1, заданих формулою

wk=r1nei(𝜃n+2πnk),

для цiлого числа k=0,1,2,,n1.

Кожен корiнь n-го степеня z має однакову норму, а рiзниця аргументiв мiж wk i wk1 дорiвнює 2πn. Якщо нам вiдомо wk, можна знайти wk+1 за допомогою формули

wk+1=w+wk,

де w+=ei2πn. Це пов’язано з тим, що множення на w+ можна розглядати як обертання на 2πn радiани на комплекснiй площинi.

Стратегiя добування кореня n-го степеня z полягає в тому, щоб спочатку знайти w0=z1n, а потiм iншi коренi n1 степеня, помноживши на w+.

Приклад 1

Добудь коренi четвертого степеня iз z=81

Щоб добути коренi четвертого степеня, доцiльно записати z у тригонометричнiй формi. Тут норма r=81, а аргумент 𝜃=π. Отже, в тригонометричнiй формi z можна записати так:

z=81eiπ.

Далi можна знайти w0:

w0=z14=3eiπ4,

i w+:

w+=ei2π4=eiπ2.

Тепер можна знайти iншi коренi, використовуючи залежнiсть wk+1=w+wk:

w1=w+w0=eiπ23eiπ4=3ei3π4w2=w+w1=eiπ23ei3π4=3ei5π4w3=w+w2=eiπ23ei5π4=3ei7π4.

w1=w+w0=eiπ23eiπ4=3ei3π4w2=w+w1=eiπ23ei3π4=3ei5π4w3=w+w2=eiπ23ei5π4=3ei7π4.

Оскiльки в умовi завдання дано число z, записане в алгебраїчнiй формi, вiдповiдь також треба надати в алгебраїчнiй формi. В алгебраїчнiй формi коренi четвертого степеня iз z такi:

w0=322+322i,w1=322+322i,w2=322322i,w3=322322i.

Оскiльки всi коренi n-го степеня числа мають однакову норму, коренi n-го степеня w0,w1,w2,,wn1 рiвномiрно розподiленi по колу на комплекснiй площинi. Коренi четвертого степеня з 81, що показує Приклад 1 на комплекснiй площинi лежать на колi з радiусом 3, а кут мiж коренями становить π2 радiани:

Коренi четвертого степеня з 81, зображенi на комплекснiй площинi.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!