Число $-1$ не має дiйсних квадратних коренiв, тому що не iснує дiйсних чисел, якi в разi множення самих на себе дають вiд’ємний добуток. Щоб подолати цю перешкоду, потрiбно визначити уявне число $i$ як квадратний корiнь $-1$. Використовуючи $i$, можна показати, що можливо добути загальний корiнь $n$-го степеня з усiх чисел, включно з комплексними числами:

Корiнь $n$-го степеня з числа $z$ — це число, яке в разi множення самого на себе $n$ разiв дає $z$.

Щоб добути корiнь $n$-го степеня комплексного числа $z$, доцiльно записати $z$ в тригонометричнiй формi. Якщо записати $z=r{e}^{i𝜃}$, можна легко знайти число $w_0$, яке задовольняє визначення кореня $n$-го степеня, використовуючи правила пiднесення до степеня:

$$w_0={\left(r{e}^{i𝜃}\right)}^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}{e}^{i\frac{𝜃}{n}}.$$

Щоб знайти корiнь $n$-го степеня $z$, треба добути корiнь $n$-го степеня норми $z$ i подiлити аргумент $z$ на $n$. Також можна знайти iншi коренi $n$-го степеня $z$, тому що тригонометрична форма $z$ не унiкальна.

Обертання на $2\pi$ радiан не змiнює значення $z$, тому можна записати

$$z=r{e}^{i\left(𝜃+2\pi \cdot k\right)}$$

для довiльного цiлого $k\in \mathbb{Z}$. Використовуючи правила пiднесення до степеня, можна отримати загальний вираз для коренiв $n$-го степеня $z$:

$$w_k=r^{\frac{1}{n}}{e}^{i\left(\frac{𝜃}{n}+\frac{2\pi }{n}\cdot k\right)}.$$

Кожне цiле число $k$ дає нам новий корiнь $n$-го степеня $w_k$, якщо $k=0,1,2,\dots ,n-1$. Якщо $k$ дорiвнює $n$ або бiльше, ми бiльше не отримуватимете новi коренi $n$-го степеня. Це тому, що ми тепер обернулися на $2\pi$ радiан й повернулися у вихiдну точку $w_0$.

Кожен корiнь $n$-го степеня $z$ має однакову норму, а рiзниця аргументiв мiж $w_k$ i $w_{k-1}$ дорiвнює $\frac{2\pi }{n}$. Якщо нам вiдомо $w_k$, можна знайти $w_{k+1}$ за допомогою формули

$$w_{k+1}=w_{+}\cdot w_k,$$

де $w_{+}=e^{i\frac{2\pi }{n}}$. Це пов’язано з тим, що множення на $w_{+}$ можна розглядати як обертання на $\frac{2\pi }{n}$ радiани на комплекснiй площинi.

Стратегiя добування кореня $n$-го степеня $z$ полягає в тому, щоб спочатку знайти $w_0=z^{\frac{1}{n}}$, а потiм iншi коренi $n-1$ степеня, помноживши на $w_{+}$.

Оскiльки всi коренi $n$-го степеня числа мають однакову норму, коренi $n$-го степеня $w_0,w_1,w_2,\dots ,w_{n-1}$ рiвномiрно розподiленi по колу на комплекснiй площинi. Коренi четвертого степеня з $81$, що показує Приклад 1 на комплекснiй площинi лежать на колi з радiусом $3$, а кут мiж коренями становить $\frac{\pi }{2}$ радiани: