Що таке формула Ейлера для комплексних чисел?

$Кольоровий логотип House of Math$

Меню

Увійти Зареєструватися

Числа та величини

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Числа та величини>Числа>Комплексні числа>Вступ>Що таке формула Ейлера для комплексних чисел?

Оскiльки ми вже познайомилися з нормою $r$ та аргументом $𝜃$ , всi комплекснi числа $z = a + b i$ можна записати у виглядi

z = r (\cos 𝜃 + i \sin 𝜃) .

Цей вираз використовується для перезаписування комплексних чисел шляхом переведення їх iз тригонометричної форми запису в алгебраїчну форму запису.

Комплексне число, зображене у виглядi прямокутного трикутника.

Якщо записати комплекснi числа у цiй формi, можна визначити показнику форму комплексного числа, яку часто називають формулою Ейлера.

Теорiя

Формула Ейлера

Для комплексного числа $z$ iз нормою $r$ та аргументом $𝜃$ показникова форма запису визначається так:

z = r e^{i 𝜃} = r (\cos 𝜃 + i \sin 𝜃) .

Для записування комплексного числа у показниковiй формi аргумент числа $z$ зазначають у показнику степеня разом з уявною одиницею $i$ , а норму числа $z$ множать на показникову функцiю. Формула Ейлера — це важлива зв’язувальна ланка мiж показовою функцiєю та тригонометричними функцiями.

Приклад 1

Перепиши число $z = e^{i π}$ в алгебраїчнiй формi

Норма $r$ комплексного числа $z$ — це число попереду показникової функцiї. Для $z$ маємо $r = 1$ . Аргумент $𝜃$ комплексного числа $z$ – це число, яке стоїть разом з $i$ у показнику степеня. Для $z$ маємо $𝜃 = π$ . Якщо скористатися формулою Ейлера, можна записати комплексне число $z$ в алгебраїчнiй формi $z = a + b i$ , де

\begin{array}{l} a & = r \cos 𝜃 = \cos π = - 1, \\ b & = r \sin 𝜃 = \sin π = 0 . \end{array}

Це означає, що $z = e^{i π} = - 1$ .

Результат, який показав Приклад 1, часто називають тотожнiстю Ейлера. Ця вiдома тотожнiсть пов’язує $π$ , $i$ , $e$ та $- 1$ .

Показникова форма запису комплексних чисел — це компактний спосiб подати комплексне число $z$ . Формулу Ейлера можна використовувати для подання комплексних чисел в тригонометричнiй формi. Оскiльки всi комплекснi числа можна записати в тригонометричнiй формi, всi комплекснi числа також можна записати в показниковiй формi.

Приклад 2

Запиши $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометричнiй формi, використовуючи формулу Ейлера

Щоб скористатися формулою Ейлера, нам потрiбна норма та аргумент $z$ . Щоб знайти норму комплексного числа $z$ , послугуємося теоремою Пiфагора:

\begin{array}{l} r & = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}} \\ = \sqrt{3 + 1} \\ = 2 . \end{array}

Потiм можна знайти аргумент комплексного числа $z$ за допомогою косинуса:

\begin{matrix} 𝜃 = \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ ⇓ \\ 𝜃 = \frac{π}{6} or 𝜃 = \frac{11 π}{6} . \end{matrix}

Оскiльки дiйсна частина $z$ додатна, а уявна частина $z$ вiд’ємна, $z$ лежить у четвертому квадрантi комплексної площини. Отже, аргумент комплексного числа $z$ дорiвнює $𝜃 = \frac{11 π}{6}$ .

Тепер, коли нам вiдома норма та аргумент $z$ , можна записати $z$ у показниковiй формi:

z = r e^{i 𝜃} = 2 e^{\frac{11 π}{6} i} .

Коли ми виконуємо обчислення з показниковою функцiєю з комплексним показником, можна послугуватися правилами пiднесення до степеня:

Правило

Показова функцiя з комплексним показником

Для кожного комплексного числа $z = a + b i$ експонента дорiвнює

\begin{array}{l} e^{z} & = e^{a + b i} \\ = e^{a} \cdot e^{b i} \\ = e^{a} (\cos b + i \sin b) . \end{array}

e^{z} = e^{a + b i} = e^{a} \cdot e^{b i} = e^{a} (\cos b + i \sin b) .

Коли ми пiдносимо $e$ до степеня, що є комплексним числом $z = a + b i$ , ми отримуємо нове комплексне число з нормою $e^{a}$ та аргументом $b$ .

Приклад 3

Знайди $w = e^{z}$ для комплексного числа $z = 3 + i π$

Знаходимо $w$ , використовуючи правило показникової функцiї з комплексним показником:

\begin{array}{l} w & = e^{z} \\ = e^{3 + i π} \\ = e^{3} \cdot e^{i π} \\ = e^{3} \cdot (- 1) \\ = - e^{3} . \end{array}

w = e^{z} = e^{3 + i π} = e^{3} \cdot e^{i π} = e^{3} \cdot (- 1) = - e^{3} .

Тут тотожнiсть Ейлера використовується для переписування

e^{i π} = - 1

Помiркуй

Попри те що тригонометрична та алгебраїчна форми запису комплексних чисел є еквiвалентними способами запису того самого числа $z$ , цi два методи подання комплексних чисел мають рiзнi переваги та недолiки. Додавати та вiднiмати комплекснi числа простiше, якщо числа записанi в алгебраїчнiй формi. Множити й дiлити комплекснi числа простiше, якщо числа записанi в тригонометричнiй формi. Тому дуже важливо опанувати обидва методи подання комплексних чисел i вмiти перемикатися мiж ними залежно вiд того, який метод запису годиться найкраще.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке норма та аргумент комплексного числа?

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Що таке комплексно-спряжені числа?