Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Ряд — це потужний iнструмент, зокрема, в галузi фiнансiв. Банки використовують ряди для розрахунку кредитiв, заощаджень, iнвестицiй та вартостi грошових потокiв. Зрозумiвши основнi принципи побудови ряду, ти отримаєш глибше розумiння внутрiшнiх механiзмiв фiнансiв.

Теорiя

Ряд

Ряд — це послiдовнiсть чисел, у якiй замiсть коми використовується плюс або мiнус. Типовий ряд має такий вигляд:

a1+a2+a3++an+

n тут — це номер члена ряду, а an — фактичне число, яким є цей член.

Коли ми обчислюємо суму дуже довгого ряду, виписувати весь ряд може бути досить втомливо. Математики знайшли значно простiший спосiб, ввiвши грецьку лiтеру сигма: . Суму ряду можна записати так:

Теорiя

Знак суми

Суму перших n членiв числового ряду можна записати так:

Sn=i=1nai=a1+a2++an

Sn — це сума n членiв. i=1 вказує, що ми рахуємо починаючи з члена 1, n вказує, до якого члена ми рахуємо, а ai — це формула, яка описує член i.

Ряд не обов’язково є скiнченним. Бувають i нескiнченнi ряди. Пiд час роботи з нескiнченними рядами найчастiше виникає запитання: що вiдбувається з сумою ряду? Чи стануть члени ряду настiльки малими, що зрештою, скiльки б членiв ми не додали, сума все одно перетвориться на конкретне число, а чи вони стануть настiльки великими, що їх сума буде нескiнченно великою? З погляду математики цi два випадки називаються збiжнiстю та розбiжнiстю, вiдповiдно:

Теорiя

Збiжнiсть i розбiжнiсть

Збiжнiсть:

сума ряду наближається до конкретного числа, коли n.

Розбiжнiсть:

сума ряду не наближається до конкретного числа, зазвичай через те, що вона наближається до ±, коли n.

Приклад 1

Дано ряд, у якому

a1=3,a2=6,a3=9,,an=3n,

a1=3,a2=6,a3=9,,an=3n,

Знайди суму перших десяти членiв. З’ясуй, що вiдбувається iз сумою, коли n.

Щоб знайти суму перших десяти членiв, використовуємо знак суми з n=10 i ai=3i. Отримуємо

S10=i=1103i=31+32+33+34+35+36+37+38+39+310=3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=165.

S10=i=1103i=31+32+33+34+35+36+37+38+39+310=3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=165.

Щоб з’ясувати, що вiдбувається iз сумою, коли n, варто перевiрити формулу для членiв ряду. У цьому разi an=3n. Цi члени є величинами, кратними 3, якi ставатимуть дедалi бiльшими, завдяки чому сума також постiйно зростатиме. Можемо дiйти висновку, що коли n, сума просто зростатиме дедалi бiльше i врештi вийде за будь-якi межi. А отже, сума цього ряду є розбiжною.

Приклад 2

Дано ряд, у якому

a1=12a2=14a3=18an=12n

a1=12,a2=14,a3=18,,an=12n,

Знайди суму перших п’яти членiв. З’ясуй, що вiдбувається iз сумою, коли n.

Щоб знайти суму перших п’яти членiв, використовуємо знак суми з n=5 i ai=12i. Отримуємо

S5=i=1512i=121+122+123+124+125=12+14+18+116+132=116216+1848+1484+12162+132=16+8+4+2+132=3132.

Щоб з’ясувати, що вiдбувається iз сумою, коли n, варто перевiрити формулу для членiв ряду. У цьому разi an=12n.

Цi члени стають дедалi меншими, що далi в ряду ми просуваємося.

Той факт, що члени стають дедалi меншими, не обов’язково означає, що сума ряду є збiжною, але означає, що iснує ймовiрнiсть того, що сума ряду буде збiжною.

Дiзнайся, як визначити, чи є ряд збiжним, переглянувши статтю про геометричнi ряди. У цьому випадку можна сказати, що ряд зменшується досить швидко, щоб сума ряду збiглася до числа, яке дорiвнює 1. З цього можна зробити висновок, що коли n, сума ряду є збiжною. Математично це матиме такий вигляд:

S=n=112i=1.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!