1.

Маржинальний дохiд є похiдною вiд доходу:

$$I^{\prime }(x)=10x-150.$$

Маржинальнi витрати є похiдною вiд витрат:

$$C^{\prime }(x)=30x-1180.$$

Маржинальний прибуток знаходимо, взявши похiдну вiд функцiї прибутку, або за допомогою формули вище. У цьому випадку простiше скористатися формулою:

$$\begin{array}{cc}{P}^{\prime }(x)=I^{\prime }(x)-C^{\prime }(x)& \\ =& \\ 10x-150-(30x-1180)& \\ =& \\ -20x+1030& \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P^{\prime }(x)& =I^{\prime }(x)-C^{\prime }(x)& \hfill & \\ \hfill & =10x-150-(30x-1180)& \hfill & \\ \hfill & =-20x+1030& \hfill & \end{array}$$

2.

Щоб знайти найбiльший прибуток, задаємо $P^{\prime }(x)=0$ i пiдставляємо знайдене значення замiсть $x$ у функцiю прибутку $P(x)$: $$\begin{array}{llllll}\hfill P^{\prime }(x)& =0& \hfill & & \hfill & \\ \hfill -20x+1030& =0& \hfill & & \hfill & \\ \hfill -20x& =-1030& \hfill & |:-20& \hfill & & \hfill & \\ \hfill x& =51.5& \hfill & & \hfill & \end{array}$$

Оскiльки неможливо виготовити пiв одиницi, потрiбно вибрати $51$ або $52$. Щоб з’ясувати оптимальну кiлькiсть сумочок для реалiзацiї – $51$ чи $52$ – пiдставляємо обидва значення у функцiю прибутку i вибираємо значення $x$, що забезпечує найбiльший прибуток. Але спершу потрiбно знайти функцiю прибутку:

$$\begin{array}{llll}\hfill & P(x)=I(x)-C(x)& \hfill & \\ \hfill & =5x^2-150x+25000& \hfill & \\ \hfill & -\left(15x^2-1180x+33200\right)& \hfill & \\ \hfill & =-10x^2+1030x-8200& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P(x)& =I(x)-C(x)& \hfill & \\ \hfill & =5x^2-150x+25000-\left(15x^2-1180x+33200\right)& \hfill & \\ \hfill & =-10x^2+1030x-8200& \hfill & \end{array}$$

Тепер пiдставляємо $51$ i $52$:

$$\begin{array}{llll}\hfill P(51)& =-10{(51)}^2+1030(51)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \\ \hfill P(52)& =-10{(52)}^2+1030(52)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{llll}\hfill P(51)& =-10{(51)}^2+1030(51)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \\ \hfill P(52)& =-10{(52)}^2+1030(52)+8200& \hfill & \\ \hfill & =34720& \hfill & \end{array}$$

Якщо прибуток дорiвнює двом i бiльше одиницям, потрiбно вибрати найбiльше значення $x$, адже бiльше значення матиме кращий вигляд у фiнансовому звiтi.

Щоб вiдповiсти на це запитання, потрiбно з’ясувати, збiльшиться чи зменшиться прибуток пiсля виробництва додаткової одиницi.

Спершу знайдемо $P^{\prime }(x)$ з функцiї прибутку. Це означає, що треба взяти похiдну вiд $P(x)$ i пiдставити $x=52$:

Оскiльки вiдповiдь вiд’ємна, то у разi збiльшення виробництва на одну одиницю прибуток зменшиться на 10. Збiльшувати обсяги виробництва поки що не варто.