$Кольоровий логотип House of Math$

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Числа та величини>Вектори>Двовимірний простір>Добутки та розрахунки з векторами>Як параметризувати пряму

Двi прямi, що перетинаються в системi координат

Параметризацiя — це один зi способiв опису прямих i кривих у площинi. Звичайнi координати просто виражаються числами, що вiдповiдають координатам $x$ та $y$ . Коли ми параметризуємо лiнiю, то знаходимо параметричне рiвняння, яке виражає координати як функцiї нових змiнних, як-от $s$ , $t$ i так далi.

Параметризацiю доцiльно використовувати насамперед через те, що завдяки їй значно легше визначити, чи знаходяться два об’єкти в одному мiсцi одночасно. Чому це важливо? Уяви, що летиш у лiтаку. Не зайвим буде знати, чи знаходяться два лiтаки в одному мiсцi одночасно, бо якщо так, то станеться катастрофа!

Теорiя

Параметризацiя прямої

Дано точку $(x_{0}, y_{0})$ на прямiй, вектор $\vec{r} = (a, b)$ уздовж прямої та змiнну $t$ . Параметричне рiвняння прямої має такий вигляд:

Векторна форма:

(x, y) = (x_{0}, y_{0}) + t (a, b)

Координатна форма:

x (t) = x_{0} + a t \land y (t) = y_{0} + b t

x (t) = x_{0} + a t \land y (t) = y_{0} + b t

Як бачимо, обидва способи вираження параметричного рiвняння тiсно пов’язанi. Якщо скласти рiвняння з усiма координатами $x$ векторної форми та рiвняння з усiма координатами $y$ векторної форми, отримаємо параметричне рiвняння у координатнiй формi.

Приклад 1

Дано параметричнi рiвняння

$\begin{array}{l} l & : x (t) = 1 + t \land y (t) = 2 - 2 t \\ m & : x (s) = - 3 + s \land y (s) = - 5 + 2 s, \end{array}$

$\begin{array}{l} l & : x (t) = 1 + t \land y (t) = 2 - 2 t \\ m & : x (s) = - 3 + s \land y (s) = - 5 + 2 s . \end{array}$
Знайди точку перетину прямих $l$ i $m$ .

Щоб знайти точку перетину, складаємо систему рiвнянь, де координата

x

прямої

l

дорiвнює координатi

x

прямої

m

, а координата

y

прямої

l

дорiвнює координатi

y

прямої

m

\begin{array}{l} 1 + t & = - 3 + s \\ t & = - 4 + s \\ 2 - 2 t & = - 5 + 2 s \\ ⇓ \\ - 2 (- 4 + s) & = - 5 + 2 s \\ 8 - 2 s & = - 5 + 2 s \\ 13 & = 4 s \\ s & = \frac{13}{4} \\ t & = - 4 + s \\ ⇓ \\ t & = - 4 + \frac{13}{4} \\ t & = - \frac{3}{4} \end{array}

\begin{array}{l} 1 + t & = - 3 + s & 2 - 2 t & = - 5 + 2 s \\ t & = - 4 + s & - 2 (- 4 + s) & = - 5 + 2 s \\ 8 - 2 s & = - 5 + 2 s \\ 13 & = 4 s \\ s & = \frac{13}{4} \\ t & = - 4 + \frac{13}{4} \\ t & = - \frac{3}{4} \end{array}

Щоб знайти перетин, пiдставляємо знайденi значення

s

або

t

в одне з параметричних рiвнянь:

\begin{array}{l} x (\frac{- 3}{4}) & = 1 + \frac{- 3}{4} = \frac{1}{4} \\ y (\frac{- 3}{4}) & = 2 - 2 \cdot \frac{- 3}{4} = \frac{7}{2} \end{array}

Це означає, що прямi $l$ i $m$ перетинаються в точцi $(\frac{1}{4}, \frac{7}{2})$ . Зверни увагу! Якщо пiдставимо $s$ в iнше параметричне рiвняння, то отримаємо ту саму точку. Якщо маєш час, завжди доцiльно виконати цю перевiрку, щоб переконатися у вiдсутностi помилок.