Кольоровий логотип House of Math
значок МенюМеню
Увійти

Двi прямi, що перетинаються в системi координат

Параметризацiя — це один зi способiв опису прямих i кривих у площинi. Звичайнi координати просто виражаються числами, що вiдповiдають координатам x та y. Коли ми параметризуємо лiнiю, то знаходимо параметричне рiвняння, яке виражає координати як функцiї нових змiнних, як-от s, t i так далi.

Параметризацiю доцiльно використовувати насамперед через те, що завдяки їй значно легше визначити, чи знаходяться два об’єкти в одному мiсцi одночасно. Чому це важливо? Уяви, що летиш у лiтаку. Не зайвим буде знати, чи знаходяться два лiтаки в одному мiсцi одночасно, бо якщо так, то станеться катастрофа!

Теорiя

Параметризацiя прямої

Дано точку (x0,y0) на прямiй, вектор r→=(a,b) уздовж прямої та змiнну t. Параметричне рiвняння прямої має такий вигляд:

Векторна форма:

(x,y)=(x0,y0)+t(a,b)

Координатна форма:

x(t)=x0+at∧y(t)=y0+bt

x(t)=x0+at∧y(t)=y0+bt

Як бачимо, обидва способи вираження параметричного рiвняння тiсно пов’язанi. Якщо скласти рiвняння з усiма координатами x векторної форми та рiвняння з усiма координатами y векторної форми, отримаємо параметричне рiвняння у координатнiй формi.

Приклад 1

Дано параметричнi рiвняння

l:x(t)=1+t∧y(t)=2−2tm:x(s)=−3+s∧y(s)=−5+2s,

l:x(t)=1+t∧y(t)=2−2tm:x(s)=−3+s∧y(s)=−5+2s.

Знайди точку перетину прямих l i m.

Щоб знайти точку перетину, складаємо систему рiвнянь, де координата x прямої l дорiвнює координатi x прямої m, а координата y прямої l дорiвнює координатi y прямої m:

1+t=−3+st=−4+s2−2t=−5+2s⇓−2(−4+s)=−5+2s8−2s=−5+2s13=4ss=134t=−4+s⇓t=−4+134t=−34

1+t=−3+s2−2t=−5+2st=−4+s−2(−4+s)=−5+2s8−2s=−5+2s13=4ss=134t=−4+134t=−34

Щоб знайти перетин, пiдставляємо знайденi значення s або t в одне з параметричних рiвнянь:

x(−34)=1+−34=14y(−34)=2−2⋅−34=72

Це означає, що прямi l i m перетинаються в точцi (14,72).

Зверни увагу! Якщо пiдставимо s в iнше параметричне рiвняння, то отримаємо ту саму точку. Якщо маєш час, завжди доцiльно виконати цю перевiрку, щоб переконатися у вiдсутностi помилок.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як знайти медіани трикутника за допомогою векторів
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як розв'язувати векторні рівняння