Вектори в тривимiрному просторi мають широкий спектр застосування — вiд тривимiрних фiгур i анiмацiї до керування польотом iз Осло до Нью-Йорка.
Тривимiрнi вектори дають змогу глибше зрозумiти, як працює тривимiрний свiт. Нова надзвичайно цiкава сфера дослiджень — це 3D-друк, який за допомогою тривимiрних векторiв виконує розрахунки для друку безлiчi важливих речей, аж до органiв для трансплантацiї.
Вектор складається з довжини та напрямку. Це означає, що вектор у просторi має три координати для опису його довжини й напрямку. Нижче наведено докладний огляд формул, якi ми вивчили для двовимiрних векторiв. Пристосовуємо їх для розрахункiв з тривимiрними векторами.
Формула
|
Коли ми додаємо вектори або вiднiмаємо їх один вiд одного, потрiбно робити це окремо для кожної пари координат у векторах. Пам’ятай, що якщо ми записуємо вектори як вектори мiж точками, то
Приклад 1
Дано два вектори,
|
Приклад 2
Дано два вектори,
Формула
|
Коли ми множимо число на вектор, треба просто помножити число на кожну координату. Щоб розкласти вектор на множники, потрiбно знайти коефiцiєнт, спiльний для всiх координат вектора.
Приклад 3
Якщо
Приклад 4
Дано вектор
|
Приклад 5
Якщо
|
Теорiя
Вектор положення — це вектор, проведений з початку координат
|
Приклад 6
Якщо дано точку
Приклад 7
Ти стоїш у точцi
У цьому випадку бачимо, що для знаходження координат
|
Теорiя
Вектор нормалi до об’єкта — це вектор, перпендикулярний дотичному об’єкту.
Вектор, перпендикулярний прямiй, — це вектор нормалi. У геометрiї ми проводимо нормаль за допомогою лiнiйки та циркуля.
Теорiя
Паралельнi вектори можуть мати однаковий напрямок чи рiзнi напрямки.
|
Щоб з’ясувати, чи паралельнi два вектора, спробуй записати один з них як кратний iншому.
Приклад 8
Чи паралельнi вектори
Щоб перевiрити це, потрiбно з’ясувати, чи можна розкласти один з векторiв на множники, щоб вiн став кратним iншому вектору. Оскiльки у векторi
|
а отже, вектори є паралельними для
Приклад 9
Чи паралельнi вектори
Як i у прикладi вище (Приклад 8), потрiбно з’ясувати, чи можна розкласти один з векторiв на множники так, щоб вiн став кратним iншому вектору. У цьому прикладi вектор
|
Розкласти жоден з векторiв далi ми не можемо, але жоден з них не кратний iншому. А отже, вектори не паралельнi один одному.
Зверни увагу! Завжди можна вилучити
Правило
Довжина вектора
|
Приклад 10
Довжина вектора
|
Приклад 11
Нехай
Виражаємо це у виглядi рiвняння:
Ми пiднесли рiвняння до квадрата, тож будьмо перевiрмо вiдповiдь. У цьому випадку пiдходять обидва розв’язки.
Теорiя
Одиничний вектор — це вектор iз довжиною
|
Приклад 12
Знайди одиничний вектор уздовж напрямку
Спершу знаходимо довжину вектора:
|
Потiм множимо вектор на 1, подiлене на довжину вектора: