Вектори в тривимірному просторі

$Кольоровий логотип House of Math$

Увійти Зареєструватися

Числа та величини

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Числа та величини>Вектори>Тривимірний простір>Розрахунки з векторами>Вектори в тривимірному просторі

Вектори в тривимiрному просторi мають широкий спектр застосування — вiд тривимiрних фiгур i анiмацiї до керування польотом iз Осло до Нью-Йорка.

Тривимiрнi вектори дають змогу глибше зрозумiти, як працює тривимiрний свiт. Нова надзвичайно цiкава сфера дослiджень — це 3D-друк, який за допомогою тривимiрних векторiв виконує розрахунки для друку безлiчi важливих речей, аж до органiв для трансплантацiї.

Вектор складається з довжини та напрямку. Це означає, що вектор у просторi має три координати для опису його довжини й напрямку. Нижче наведено докладний огляд формул, якi ми вивчили для двовимiрних векторiв. Пристосовуємо їх для розрахункiв з тривимiрними векторами.

Вектор у тривимiрнiй системi координат

Формула

Додавання й вiднiмання тривимiрних векторiв

\begin{array}{l} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \pm (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \\ = (x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2}) \end{array}

(x_{1}, y_{1}, z_{1}) \pm (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2})

Коли ми додаємо вектори або вiднiмаємо їх один вiд одного, потрiбно робити це окремо для кожної пари координат у векторах. Пам’ятай, що якщо ми записуємо вектори як вектори мiж точками, то $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Приклад 1

Дано два вектори,

\vec{a} = (14, 2, 5)

\vec{b} = (4, 4, 1)

. Знаходимо їхню суму:

\vec{a} + \vec{b} = (14 + 4, 2 + 4, 5 + 1) = (18, 6, 6) .

Приклад 2

Дано два вектори, $\vec{u} = (2 t + 1, 4 t, 2)$ i $\vec{v} = (5 t + 4, t - 2, t)$ . Рiзниця мiж ними становить

\begin{array}{l} \vec{u} - \vec{v} & = ((2 t + 1) - (5 t + 4), \\ ((4 t) - (t - 2)), (2) - (t)) \\ = (- 3 t - 3, 3 t + 2, 2 - t) . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} - \vec{v} & = ((2 t + 1) - (5 t + 4), ((4 t) - (t - 2)), (2) - (t)) \\ = (- 3 t - 3, 3 t + 2, 2 - t) . \end{array}

Звертай увагу на дужки!

Формула

Множення й розкладання на множники тривимiрних векторiв

k (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (k x_{1}, k y_{1}, k z_{1})

Коли ми множимо число на вектор, треба просто помножити число на кожну координату. Щоб розкласти вектор на множники, потрiбно знайти коефiцiєнт, спiльний для всiх координат вектора.

Приклад 3

Якщо $\vec{a} = (2, 5, 6)$ , то $4 \vec{a} = (8, 20, 24)$ .

Приклад 4

Дано вектор

\vec{u} = (7, - 1, 2)

. Вектор, який вказує в тому самому напрямку, що й

\vec{u}

, можна записати у виглядi

\vec{v} = k \vec{u}

, якщо

k > 0

\vec{v} = k (7, - 1, 2) = (7 k, - k, 2 k) .

Приклад 5

Якщо $\vec{a} = (9, 15, 21)$ i $\vec{b} = (3, 5, 7)$ , то $\vec{a}$ кратний $\vec{b}$ , адже

\vec{a} = (9, 15, 21) = 3 \cdot (3, 5, 7) = 3 \vec{b} .

Теорiя

Вектор положення

Вектор положення — це вектор, проведений з початку координат $(0, 0, 0)$ до точки $P = (a, b, c)$ :

\vec{O P} = (a, b, c)

Приклад 6

Якщо дано точку $P = (8, 4, 9)$ , то її вектор положення $\vec{O P} = (8, 4, 9)$ .

Приклад 7

Ти стоїш у точцi $P = (0, 5, 4)$ i рушаєш уздовж вектора $\vec{P Q} = (2, 2, 8)$ до $Q$ . Назви координати $Q$ .

У цьому випадку бачимо, що для знаходження координат

Q

потрiбно знайти вектор положення

\vec{O Q}

i перетворити його на точку. Щоб знайти цей вектор, передусiм перетворюємо точку

P

на вектор положення

\vec{O P} = (0, 4, 5)

. Потiм знаходимо

\vec{O Q}

\begin{array}{l} \vec{O Q} & = \vec{O P} + \vec{P Q} \\ = (0, 5, 4) + (2, 2, 8) \\ = (2, 7, 12) . \end{array}

\vec{O Q} = \vec{O P} + \vec{P Q} = (0, 5, 4) + (2, 2, 8) = (2, 7, 12) .

Отже, точка

Q = (2, 7, 12)

Теорiя

Вектор нормалi

Вектор нормалi до об’єкта — це вектор, перпендикулярний дотичному об’єкту.

Вектор, перпендикулярний прямiй, — це вектор нормалi. У геометрiї ми проводимо нормаль за допомогою лiнiйки та циркуля.

Теорiя

Паралельнi вектори

Паралельнi вектори можуть мати однаковий напрямок чи рiзнi напрямки.

\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k \vec{b}

Щоб з’ясувати, чи паралельнi два вектора, спробуй записати один з них як кратний iншому.

Приклад 8

Чи паралельнi вектори $\vec{a} = (3, 6, 9)$ i $\vec{b} = (1, 2, 3)$ ?

Щоб перевiрити це, потрiбно з’ясувати, чи можна розкласти один з векторiв на множники, щоб вiн став кратним iншому вектору. Оскiльки у векторi $\vec{a}$ бiльшi числа, розкладаємо його на множники першим. Отримуємо

\vec{a} = (3 \cdot 1, 3 \cdot 2, 3 \cdot 3) = 3 \cdot (1, 2, 3) = 3 \vec{b},

а отже, вектори є паралельними для $k = 3$ .

Приклад 9

Чи паралельнi вектори $\begin{array}{l} \vec{a} = (2, - 5, 5) \\ \vec{b} = (- 8, 20, 20) ? \end{array}$

Як i у прикладi вище (Приклад 8), потрiбно з’ясувати, чи можна розкласти один з векторiв на множники так, щоб вiн став кратним iншому вектору. У цьому прикладi вектор $\vec{b}$ має бiльшi числа, а отже

\vec{b} = (4 \cdot (- 2), 4 \cdot 5, 4 \cdot 5) = 4 \cdot (- 2, 5, 5) .

Розкласти жоден з векторiв далi ми не можемо, але жоден з них не кратний iншому. А отже, вектори не паралельнi один одному.

Зверни увагу! Завжди можна вилучити $- 1$ , змiнивши всi знаки на протилежнi. Завжди виконуй цю перевiрку, перш нiж дiйти висновку про те, що вектори непаралельнi.

Правило

Довжина векторiв

Довжина вектора $\vec{v} = (a, b, c)$ становить

| \vec{v} | = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .

Приклад 10

Довжина вектора $\vec{u} = (4, 4, 3)$ становить

| \vec{u} | = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{41} .

Приклад 11

Нехай $\vec{v} = (4, x, x)$ . Знайди $x$ , за якого $| \vec{v} | = \sqrt{66}$ .

Виражаємо це у виглядi рiвняння:

\begin{array}{l} | \vec{v} | & = \sqrt{66} \\ \sqrt{4^{2} + x^{2} + x^{2}} & = \sqrt{66} \\ 2 x^{2} + 16 & = 66 \\ x^{2} & = 25 \\ x & = \pm 5 \end{array}

Ми пiднесли рiвняння до квадрата, тож будьмо перевiрмо вiдповiдь. У цьому випадку пiдходять обидва розв’язки.

Теорiя

Одиничний вектор

Одиничний вектор — це вектор iз довжиною $1$ . Одиничнi вектори вздовж осей $x$ , $y$ i $z$

\begin{array}{l} {\vec{e}}_{x} = (1, 0, 0), {\vec{e}}_{y} = (0, 1, 0) \\ i {\vec{e}}_{z} = (0, 0, 1) . \end{array}

{\vec{e}}_{x} = (1, 0, 0), {\vec{e}}_{y} = (0, 1, 0) i {\vec{e}}_{z} = (0, 0, 1) .

Приклад 12

Знайди одиничний вектор уздовж напрямку $\vec{b} = (1, 1, \sqrt{2})$ .

Спершу знаходимо довжину вектора:

| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{4} = 2

Потiм множимо вектор на 1, подiлене на довжину вектора:

\begin{array}{l} {\vec{e}}_{\vec{b}} & = \frac{1}{2} \vec{b} \\ = \frac{1}{2} (1, 1, \sqrt{2}) \\ = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{array}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як знайти скалярний добуток двох векторів (3D)