$Кольоровий логотип House of Math$

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Статистика та ймовірність>Імовірність і комбінаторика>Комбінаторика>Впорядкований відбір із заміною

Впорядкована множина — це множина, в якiй має значення порядок елементiв. Iз замiною означає, що той самий елемент можна вибрати декiлька разiв.

Правило

Впорядкований вiдбiр iз замiною

Якщо ми маємо множину з $n$ елементiв i вiдбираємо з неї $r$ елементiв, то отримуємо таку кiлькiсть можливих результатiв:

\underset{r разiв}{\underset{⏟}{n \cdot n \cdot n \dots n}} = n^{r}

Приклад 1

Код складається з п’яти цифр. Можна використовувати цифри $0 – 9$ . Скiльки варiантiв коду можна з них скласти?

Щоб вiдповiсти на це запитання, доцiльно крок за кроком виконати таку процедуру. Насамперед запитай себе: «Скiльки варiантiв першої цифри можна вибрати?» Вiдповiдь буде 10, оскiльки ми маємо 10 цифр вiд 0 до 9. Те саме стосується й решти чотирьох цифр. А отже, загальна кiлькiсть варiантiв коду складає

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 0^{5} = 100 000 .

Ця вiдповiдь є логiчною, оскiльки код iз п’яти цифр представляє будь-яке додатне число до $99 999$ (для числа 1 код матиме вигляд 00001). Крiм того, не забуваймо про число 0, якому вiдповiдає код 00000. Це означає, що кiлькiсть рiзних варiантiв коду складає

99 999 + 1 = 100 000,

тобто те саме число, що ми отримали вище.

Приклад 2

Номерний знак штату Калiфорнiя має формат 1ABC234. Замiсть букв можна використовувати будь-якi букви латиницi, а замiсть цифр — будь-якi цифри. Є лише один виняток: перша цифра не може бути 0. Скiльки може iснувати рiзних номерних знакiв?

У латиницi є 26 лiтер; крiм того, є 10 цифр. Отримуємо