Що таке показникові рівняння?

$Кольоровий логотип House of Math$

Меню

Увійти Зареєструватися

Числа та величини

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Алгебра>Логарифми>Логарифмічні рівняння>Що таке показникові рівняння?

Показникове рiвняння — це рiвняння, в якому $x$ знаходиться в показнику степеня. Щоб винести $x$ зi степеня, застосовуємо логарифми. Можна використовувати як $\log$ , так i $\ln$ .

Пiд час роботи з показниковими та логарифмiчними рiвняннями важливо не забувати властивостi логарифмiв та показникових функцiй! Рiвняння цього типу розв’язуємо так:

Правило

Показниковi рiвняння

Логарифми $\ln$ i $\log$ пiдпорядковуються однаковим правилам. Найчастiше використовується $\ln$ .

\begin{array}{l} a^{x} & = b \\ \ln a^{x} & = \ln b \end{array}

Множимо обидвi частини на логарифм i виносимо $x$ перед логарифмом:

x \ln a = \ln b

Дiлимо обидвi частини на $\ln a$ :

x = \frac{\ln b}{\ln a}, a, b > 0

Зверни увагу! Вiдповiдь буде однаковою, незалежно вiд того, що ми використовуємо — $\ln$ чи $\log$ !

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $1 0^{x} = 3000$

$\begin{array}{l} 1 0^{x} & = 3000 \\ \ln 1 0^{x} & = \ln 3000 \\ x & = \frac{\ln 3000}{\ln 10} \\ x & \approx 3.477 \end{array}$

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $32 \cdot 2^{x} = 128$

$\begin{array}{l} 32 \cdot 2^{x} & = 128 | : 32 \\ 2^{x} & = 4 \\ \ln 2^{x} & = \ln 4 \\ x \ln 2 & = \ln 4 \\ x & = \frac{\ln 4}{\ln 2} = \frac{\ln 2^{2}}{\ln 2} = \frac{2 \cdot \ln2}{\ln2} = 2 \end{array}$

Приклад 3

Розв’яжи рiвняння $5 \cdot 4^{x} = 45$

$\begin{array}{l} 5 \cdot 4^{x} & = 45 | : 5 \\ 4^{x} & = 9 \\ \ln 4^{x} & = \ln 9 \\ x \ln 4 & = \ln 9 | : \ln 4 \\ x & = \frac{\ln 9}{\ln 4} = \frac{\ln 3^{2}}{\ln 2^{2}} = \frac{2 \ln 3}{2 \ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \end{array}$

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Що таке логарифмічні рівняння?