$Кольоровий логотип House of Math$

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Алгебра>Основи алгебри>Дроби та розкладення на множники>Як розкласти на множники многочлени 3-го і 4-го степеня

Пiд час розкладання на множники многочленiв 3-го степеня i вище потрiбно застосовувати методи, якi дають квадратне рiвняння. Найчастiше застосовується дiлення на многочлен.

Отримавши квадратне рiвняння, розкладаємо його на множники у звичайному порядку. Маємо

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),

де $x_{1}$ i $x_{2}$ — це розв’язки рiвняння

a x^{2} + b x + c = 0 .

Цi рiшення можна знайти шляхом перевiрки, за допомогою квадратної формули або за допомогою цифрових засобiв. Але спершу докладнiше розгляньмо метод дiлення на многочлен:

Теорiя

Особливостi дiлення на многочлен

Якщо $P (a) = 0$ , тодi $x = a$ — це розв’язок рiвняння $P (x) = 0$ . Це означає, що дiлення $P (x) : (x - a)$ має розв’язок i не має остачi.
Якщо $P (x) : (x - a)$ дiлиться без остачi, тодi отримуємо $P (x) : (x - a) = Q (x)$ , де $Q (x)$ — це новий многочлен iз нижчим степенем, нiж $P (x)$ .
Якщо $Q (x)$ має степiнь 3 i вище, тодi потрiбно знайти бiльше розв’язкiв. Розв’язки $Q (x)$ — це також розв’язки $P (x)$ . Якщо $Q (x)$ має степiнь 2, то вираз можна розкласти на множники у звичайному порядку.
$P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ — це $P (x)$ , розкладене на множники.

У завданнях, де потрiбно розкласти на множники многочлени вищих степенiв, дається значення, яке потрiбно перевiрити, або чiтка пiдказка про правильний розв’язок. У iншому випадку одним iз розв’язкiв часто буде $x = - 2, - 1, 0, 1, 2$ . Щоб перевiрити розв’язок, пiдставляємо значення $x$ у многочлен, щоб пересвiдчитися, що вiдповiдь — 0. Якщо це так, то пiдставлене значення є розв’язком рiвняння, i можна розкласти вираз на множники.

Правило

Розкладання на множники шляхом дiлення на многочлен

1.: Перевiрте, чи всi доданки мають степiнь $x$ . Якщо так, то вибираємо найвищий степiнь $x$ , спiльний для всiх доданкiв. Якщо отримуємо квадратне рiвняння, то розкладаємо його на множники в один зi способiв, описаних вище. Наприклад: $\begin{array}{l} 4 x^{4} + 2 x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} + 1) . \end{array}$
Якщо нi, переходимо до Пункт 2.
2.: Якщо доданки початкового многочлена не мають степеня $x$ , то вгадуємо розв’язок. Можна почати зi значень, якi ми пiдставляли вище: $x = 1, - 1, 2, - 2 \dots$
3.: Назвемо вираз $P (x)$ i перевiрятимемо значення $P (0), P (1), P (- 1), \dots$ доки не знайдемо значення, з яким отримаємо $P (a) = 0$ .
4.: Потiм знайдемо $P (x) : (x - a)$ , подiливши на многочлен.
5.: Повторюємо процес, доки не отримаємо многочлен 2-го степеня i нижче.
6.: Використовуй будь-який спосiб розкладання квадратних рiвнянь на множники.

Ось кiлька прикладiв розкладання многочленiв $n$ -го степеня на множники:

\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ a x^{3} + b x^{2} + c x + d \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \\ a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + f \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) \end{array}

\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ a x^{3} + b x^{2} + c x + d & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \\ a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + f & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) \\ a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + f x + g & = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) (x - x_{5}) \end{array}

Загалом многочлени розкладаються на множники так:

\begin{array}{l} a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ = a_{n} (x - x_{1}) \dots (x - x_{n}) \end{array}

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x - x_{1}) \dots (x - x_{n})

Якщо розв’язок зустрiчається кiлька разiв, його потрiбно включити стiльки разiв, скiльки вiн зустрiчається. Наприклад, якщо ми маємо квадратичну функцiю, яка торкається осi

x

лише в однiй точцi

x = x_{1}

, то розкласти її на множники можна так:

a (x - x_{1}) (x - x_{1}) = a {(x - x_{1})}^{2} .

Многочлени $n$ -го степеня мають щонайбiльше $n$ розв’язкiв, але їх може бути й менше. Наприклад, кубiчний многочлен має три, два або один дiйсний розв’язок. Якщо дiйсний розв’язок лише один, то вираз розкладається на множники так:

x^{3} + x + 2 = (x + 1) (x^{2} - x + 2)

Тут $x = - 1$ — єдиний дiйсний розв’язок кубiчного многочлена. Весь графiк функцiї $x^{2} - x + 2$ лежить вище осi $x$ , а отже, не дає розв’язкiв.

Приклад 1

Розклади на множники многочлен $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Через те, що $x$ є не в усiх доданках, розв’язки потрiбно вгадувати. Почнiмо з $x = 1$ : $\begin{array}{l} P (1) & = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 5 (1) - 6 \\ = 1 + 2 - 5 - 6 \\ = - 8 \\ \neq 0 . \end{array}$

Далi спробуємо $x = - 1$ : $\begin{array}{l} P (- 1) & = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 (- 1) - 6 \\ = - 1 + 2 + 5 - 6 \\ = 0 . \end{array}$

Це означає, що $(x - (- 1)) = (x + 1)$ є дiльником $P (x)$ . А отже, можна виконати дiлення на многочлен

Дiлення на многочлен x̂3+2x̂2-5x-6, подiлений на x+1

Отримуємо вираз 2-го степеня, що й було потрiбно. Тепер можемо розкласти його на множники у звичному порядку, за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки.

Знайдемо $x = x_{1}$ i $x = x_{2}$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm 5}{2}, \end{array}$

отримавши $x_{1} = 2$ i $x_{2} = - 3$ . Це означає, що квадратне рiвняння, розкладене на множники, має вигляд $(x - 2) (x + 3)$ . Тепер можемо скласти кубiчний вираз, розкладений на множники, а саме $\begin{array}{l} P (x) & = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 \\ = (x + 1) (x - 2) (x + 3) . \end{array}$

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Щоб розв’язати подiбне рiвняння, почнемо з перенесення виразу по лiвий бiк рiвняння, щоб по правий бiк лишився нуль. У цьому випадку це вже було зроблено. Далi розкладаємо на множники вираз по лiвий бiк. Оскiльки це той самий многочлен, що й у Приклад 1, вiн має такий вигляд: