Як знайти скалярний добуток двох векторів (2D) | House of Math

$Кольоровий логотип House of Math$

Меню

Увійти Зареєструватися

Числа та величини

Геометрія

Статистика та ймовірність

Доведення

Енциклопедія>Числа та величини>Вектори>Двовимірний простір>Добутки та розрахунки з векторами>Як знайти скалярний добуток двох векторів (2D)

Скалярний добуток — це одна з найважливiших математичних операцiй iз векторами, насамперед через те, що показує, чи є два вектори перпендикулярними (кут мiж ними дорiвнює $90$ °) чи нi. Якщо два вектори перпендикулярнi один одному, їх називають ортогональними. Правило сформульовано так:

Правило

Ортогональнi вектори

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}

Мiж виразами стоїть знак еквiвалентностi. Це означає, що якщо один з них iстинний, то й iнший також є iстинним.

Є двi формули знаходження скалярного добутку. Одна використовується, коли вектори мають координатну форму, а iнша — коли вiдомi довжина векторiв i кут мiж ними.

Формула

Скалярний добуток

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) \\ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α, α = ∠ (\vec{u}, \vec{v}) \end{array}

Приклад 1

Визнач, чи є вектори $(- 4, 5)$ i $(2, 3)$ ортогональними.

\begin{array}{l} (- 4, 5) \cdot (2, 3) & = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \\ = - 8 + 15 \\ = 7 \neq 0 \end{array}

(- 4, 5) \cdot (2, 3) = - 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = - 8 + 15 = 7 \neq 0

Оскiльки скалярний добуток не дорiвнює нулю, вектори не є ортогональними.

Приклад 2

Знайди скалярний добуток векторiв $\vec{u}$ i $\vec{v}$ , якщо $| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 5$ , а кут мiж ними $α = 90 °$ .

\begin{array}{l} \vec{u} \cdot \vec{v} & = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α \\ = 3 \cdot 5 \cdot \cos 90 ° \\ = 3 \cdot 5 \cdot 0 \\ = 0 \end{array}

Оскiльки скалярний добуток дорiвнює

0

, вектори

\vec{u}

i

\vec{v}

є ортогональними.

Приклад 3

Знайди $t$ , за якого вектори $(- 2, 5)$ i $(2 t, 9)$ будуть ортогональними.

Щоб два вектори були ортогональними, скалярний добуток має дорiвнювати $0$ .

\begin{array}{l} (- 2, 5) \cdot (2 t, 9) & = 0 \\ - 4 t + 45 & = 0 \\ t & = \frac{45}{4} \end{array}

Вектори є ортогональними, коли $t = \frac{45}{4}$ . У цьому разi другий вектор

(2 t, 9) = (\frac{45}{2}, 9) .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Біла стрілка, що вказує ліворуч

Попередня стаття

Як знайти паралельні вектори

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Біла стрілка, що вказує праворуч

Як знайти кут між двома векторами?