$Кольоровий логотип House of Math$

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Функції>Диференціювання та способи його застосування>Способи застосування похідних>Як аналізувати логарифмічні функції

Ось приклад аналiзу логарифмiчної функцiї. Метод такий:

Правило

Аналiз логарифмiчних функцiй

1.: Знайди область визначення.
2.: Знайди нулi функцiї.
3.: Знайди стацiонарнi точки.
4.: Знайди точки перегину.

Приклад 1

Проаналiзуй функцiю $f (x) = \ln (2 x^{2} - 2)$

1.

Спочатку знайди область визначення

D_{f}

. Для цього потрiбно знайти область, у якiй аргумент логарифмiчної функцiї бiльший за 0. Задаємо вираз рiвним 0, щоб знайти нулi, а потiм застосовуємо дiаграму знакiв, щоб знайти iнтервали:

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 2 & = 0 \\ 2 (x^{2} - 1) & = 0 \\ 2 (x - 1) (x + 1) & = 0 \end{array}

Дiаграма знакiв має такий вигляд:

Дiаграма знакiв f’(x) = 2x̂2-2.

Область, у якiй аргумент $> 0$ — $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ , отже, це область визначення $D_{f}$ .

2.

Знайди нулi, задавши

f (x) = 0

\begin{array}{l} \ln (2 x^{2} - 2) & = 0 \\ e^{\ln (2 x^{2} - 2)} & = e^{0} \\ 2 x^{2} - 2 & = 1 \\ 2 x^{2} & = 3 | : 2 \\ x^{2} & = \frac{3}{2} \\ \sqrt{x^{2}} & = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}

Отже, нулi — $(- \sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ i $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ .

3.

Знайди максимуми та мiнiмуми, вставивши

f^{'} (x) = 0

. Спочатку диференцiюємо функцiю:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x) \\ = \frac{4 x}{2 x^{2} - 2} \\ = \frac{4 x}{2 (x^{2} - 1)} \\ = \frac{2 x}{x^{2} - 1} \end{array}

Задаємо рiвняння рiвним 0:

\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} - 1} & = 0 \\ \Rightarrow 2 x & = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0 \Rightarrow 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}

x = 0

виходить за межi областi визначення, тому ця функцiя не має максимумiв чи мiнiмумiв.

4.

Знайди точку перегину, задавши

f^{″} (x) = 0

. Спочатку знаходимо другу похiдну, продиференцiювавши

f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}

\begin{array}{l} f^{″} (x) & = \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 x \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \\ = \frac{2 x^{2} - 2 - 4 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{- 2 (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} \end{array}

Задаємо цей вираз рiвним 0:

\frac{- 2 (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0

Тут потрiбно прирiвняти чисельник до 0:

\begin{array}{l} - 2 (x^{2} + 1) & = 0 \\ - 2 x^{2} - 2 & = 0 \\ - 2 x^{2} & = 2 | : - 2 \\ x^{2} & = - 1 \end{array}

Це рiвняння не має реальних розв’язкiв, а отже, функцiя не має точок перегину. Те саме було б, якби розв’язок виходив за межi областi визначення. Причина така: щоб iснувала точка перегину, функцiя має переходити з опуклої в угнуту або з угнутої в опуклу, чого не вiдбувається з логарифмiчними функцiями.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як аналізувати поліноміальні функції

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як аналізувати степеневі функції

Як аналізувати логарифмічні функції

Теорія функцій

Диференціювання та способи його застосування

Швидкість зміни Границі Диференціювання Способи застосування похідних

Інтеграли Диференціальні рівняння

Математичні моделі