Нескiнченний геометричний ряд має нескiнченну кiлькiсть членiв:
|
Сума ряду збiгається до певного числа, якщо спiввiдношення
|
Приклад 1
Мультимiльйонер на пенсiї започаткувув благодiйний фонд з метою надання довiчної щорiчної стипендiї в розмiрi
Поточнi значення рiчних виплат студенту-математику утворюють нескiнченний геометричний ряд
|
де
Потрiбно знайти суму нескiнченного геометричного ряду, щоб з’ясувати, яку початкову суму коштiв потрiбно внести на банкiвський рахунок:
|
Якщо спiввiдношення
|
або
|
Обидва способи дадуть той самий результат.
Правило
Якщо спiввiдношення
|
Приклад 2
Дано геометричний ряд iз спiввiдношенням
Для початку складаємо нерiвнiсть:
|
Це абсолютне значення, тому дiлимо його на двi нерiвностi. Розв’язуємо їх окремо i застосовуємо дiаграму знакiв для знаходження шуканого промiжка.
Як видно з дiаграми знакiв, ряд збiгається, коли
Приклад 3
Дано геометричний ряд iз спiввiдношенням
Цю задачу також можна розв’язати за допомогою нерiвностi
|
У цьому випадку отримуємо
Застосовуємо третю алгебраїчну тотожнiсть, щоб розкласти лiвий бiк на множники:
Тепер знаходимо розв’язок за допомогою дiаграми знакiв. Креслимо i тлумачимо лiнiї:
Ми шукаємо область, у якiй