Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Нескiнченний геометричний ряд має нескiнченну кiлькiсть членiв:

a1+a1k+a1k2++a1kn+

Сума ряду збiгається до певного числа, якщо спiввiдношення k є числом вiд 1 до 1. У цьому разi сума

S=a11k.

Приклад 1

Мультимiльйонер на пенсiї започаткувув благодiйний фонд з метою надання довiчної щорiчної стипендiї в розмiрi $5000 студентам, якi продемонструють суттєвi успiхи в математицi. Кошти зараховуються на ощадний рахунок з рiчною вiдсотковою ставкою 3.5%. Яку суму грошей потрiбно зарахувати на цей рахунок?

Поточнi значення рiчних виплат студенту-математику утворюють нескiнченний геометричний ряд

50001.035+50001.0352+50001.0353+,

де k=11.035, а a1=50001.035. Ми знаємо, що ряд є збiжним, оскiльки k знаходиться мiж 1 i 1.

Потрiбно знайти суму нескiнченного геометричного ряду, щоб з’ясувати, яку початкову суму коштiв потрiбно внести на банкiвський рахунок:

S=a11k=500001.035111.035142857.14$.

S=a11k=500001.035111.035142857.14$.

Отже, невiдомому мультимiльйонеровi доведеться внести на рахунок 142857.14 $.

Якщо спiввiдношення k є функцiєю вiд x, область збiжностi має вигляд 1<k(x)<1. Тодi для знаходження областi збiжностi можна розв’язати нерiвнiсть

|k(x)|<1

або

k(x)2<1.

Обидва способи дадуть той самий результат.

Правило

Область збiжностi

Якщо спiввiдношення k є функцiєю вiд x, то область збiжностi має вигляд 1<k(x)<1. Тодi знаходимо область збiжностi, розв’язавши нерiвнiсть

k(x)2<1.

Приклад 2

Варiант 1. Розв’язування за допомогою двох нерiвностей

Дано геометричний ряд iз спiввiдношенням k(x)=2x+3. Знайди область збiжностi ряду.

Для початку складаємо нерiвнiсть:

|k(x)|=|2x+3|<1

Це абсолютне значення, тому дiлимо його на двi нерiвностi. Розв’язуємо їх окремо i застосовуємо дiаграму знакiв для знаходження шуканого промiжка.

2x+3<12x<2x<1(2x+3)<12x3<12x<4x>2

2x+3<1(2x+3)<12x<22x3<1x<12x<4x>2

Креслимо знаковi прямi для нерiвностей. Щоб знайти розв’язок, шукаємо область, у якiй обидвi нерiвностi є iстинними. У цiй областi збiгається нескiнченний геометричний ряд.

Дiаграма знакiв для знаходження областi збiжностi

Як видно з дiаграми знакiв, ряд збiгається, коли x(2,1).

Приклад 3

Варiант 2. Розв’язування за допомогою однiєї нерiвностi

Дано геометричний ряд iз спiввiдношенням k(x)=2x+3. Знайди область збiжностi ряду.

Цю задачу також можна розв’язати за допомогою нерiвностi

k(x)2<1.

У цьому випадку отримуємо

(2x+3)2<1(2x+3)21<0

Застосовуємо третю алгебраїчну тотожнiсть, щоб розкласти лiвий бiк на множники:

((2x+3)+1)((2x+3)1)<0(2x+4)(2x+2)<0

Тепер знаходимо розв’язок за допомогою дiаграми знакiв. Креслимо i тлумачимо лiнiї:

Дiаграма знакiв для знаходження областi збiжностi

Ми шукаємо область, у якiй k(x)2<1, тож розв’язком буде промiжок, позначений пунктиром. Отже, ряд збiгається, коли x(2,1).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!