$Кольоровий логотип House of Math$

Алгебра

Геометрія

Статистика та ймовірність

Функції

Доведення

Енциклопедія>Алгебра>Рівняння та нерівності>Нерівності>Інтервали та діаграми знаків>Як працюють діаграми знаків?

Теорiя

Що таке дiаграма знакiв?

Дiаграма знакiв вказує, коли значення функцiї $f (x)$ є додатним або вiд’ємним, що фактично те саме, що й графiк $f (x)$ , який знаходиться вище або нижче осi $x$ , вiдповiдно.

Зверни увагу! Хай яка в нас функцiя, дiаграма знакiв показує, вище чи нижче осi $x$ лежить функцiя, для якої ми будуємо дiаграму знакiв.

Головна причина полюбити дiаграми знакiв полягає в тому, що дiаграма знакiв диференцiйованої функцiї демонструє поведiнку початкової функцiї.

Правило

Як будувати дiаграми знакiв

Це правило застосовується до дiаграм знакiв будь-якого типу.

Суцiльну лiнiю проводимо, коли значення $y$ функцiї бiльше нуля, тобто коли $f (x) > 0$ .
Пунктирну лiнiю проводимо, коли значення $y$ функцiї менше нуля, тобто коли $f (x) < 0$ .

Приклад 1

На рисунку нижче бачимо, що графiк знаходиться нижче нуля до точки

x = 2

i мiж точками

x = 5

x = 8

. У цих iнтервалах пряма дiаграми знакiв пунктирна. Графiк знаходиться вище осi

x

мiж точками

x = 2

x = 5

, а також коли

x > 8

. На цих дiлянках пряма дiаграми знакiв суцiльна.

Графiк, що змiщується вище i нижче осi x, i вiдповiдна дiаграма знакiв.

Зверни увагу! Коли ми будуємо дiаграми знакiв для констант, то просто проводимо суцiльну лiнiю для додатних чисел i пунктирну лiнiю для вiд’ємних чисел.

Але як дiзнатися, в яких точках функцiя лежить вище та нижче осi $x$ ? Ось два способи це з’ясувати. Для лiнiйних виразiв застосовуй спосiб 1. У рештi випадкiв застосовуй спосiб, який тобi бiльше подобається.

Правило

Спосiб 1: визначення того, додатною чи вiд’ємною є функцiя

1.: Розв’яжи рiвняння $f (x) = 0$ , щоб знайти точки перетину графiка з вiссю $x$ .
2.: Поглянь на одне значення $x$ по кожен бiк вiд цих точок перетину. Якщо значення $x$ вiдповiдає вiд’ємному значенню $y$ , то графiк у цiй дiлянцi лежить нижче осi $x$ . Якщо значення $x$ вiдповiдає додатному значенню $y$ , то графiк у цiй дiлянцi лежить вище осi $x$ .
3.: Побудуй дiаграму знакiв.

Приклад 2

Побудуй дiаграму знакiв для функцiї $f (x) = - 2 x + 12$

1.: Розв’яжи рiвняння $- 2 x + 12 = 0$ : $\begin{array}{l} - 2 x + 12 & = 0 \\ - 2 x & = - 12 | : (- 2) \\ x & = 6 \end{array}$
2.: Тепер перевiр по одному значенню $x$ по обидва боки вiд $x = 6$ : одне значення бiльше 6 i одне значення менше 6. Доцiльно обрати числа, з якими легко працювати, наприклад $x = - 10$ i $x = 10$ . $\begin{array}{l} f (- 10) & = - 2 \cdot (- 10) + 12 \\ = 20 + 12 \\ = 32 \\ > 0 \Rightarrow вище осi x \\ f (10) & = - 2 \cdot (10) + 12 \\ = - 20 + 12 \\ = - 8 \\ < 0 \Rightarrow нижче осi x \end{array}$
3.: Побудуй дiаграму знакiв:

Правило

Спосiб 2: визначення того, додатною чи вiд’ємною є функцiя

1.: Насамперед розв’яжи рiвняння $f (x) = 0$ , щоб знайти точки перетину мiж графiком i вiссю $x$ .
2.: Розклади вираз на множники.
3.: Проведи числову лiнiю для значень $x$ у верхнiй частинi дiаграми знакiв.
4.: Побудуй дiаграму знакiв для кожного множника $(x - x_{i})$ , де $x_{i}$ — це значення $x$ у точках перетину з вiссю $x$ .
5.: Як ми знаємо, $x - x_{i} = 0$ , коли $x = x_{i}$ , тож познач $x_{i}$ у верхнiй частинi числової прямої i розмiсти 0 нижче $x_{i}$ на дiаграмi знакiв для $x - x_{i}$ .
6.: Щоб з’ясувати, в яких точках функцiя додатна, а в яких вiд’ємна, перевiр одне значення лiворуч вiд $x_{i}$ i одне значення праворуч вiд $x_{i}$ , пiдставивши їх замiсть $x$ у вираз $(x - x_{i})$ . Якщо вiдповiдь додатна, проведи суцiльну лiнiю, а якщо вiд’ємна – пунктирну. Виконай це для всiх множникiв i побудуй дiаграми знакiв одна пiд одною.
7.: Нарештi, об’єднай усi дiаграми знакiв, щоб побудувати дiаграму знакiв, яка представлятиме всю функцiю, нижче дiаграм для всiх множникiв.

Приклад 3

Знайди нулi функцiї

f (x) = x^{2} - 7 x + 12

i визнач, у яких точках графiк лежить вище та нижче осi $x$

1.

Насамперед розв’яжи рiвняння

f (x) = 0

. У цьому разi скористайся квадратною формулою або виконай перевiрку. Знайди нулi

x_{1} = 4

та

x_{2} = 3

2.

Це означає, що функцiю можна розкласти на множники так:

(x - 4) (x - 3) .

3.

Побудуй дiаграму знакiв

(x - 3)

. Спершу з’ясуй, у якiй точцi

x - 3 = 0

\begin{array}{l} x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{array}

Це означає, що потрiбно записати 3 на числовiй прямiй над дiаграмами знакiв.

Потiм з’ясуй, у яких точках дiаграма знакiв є додатною та вiд’ємною:

Вибери значення менше 3, наприклад $x = 0$ , i пiдстав у вираз $x - 3$ . Отримаєш $0 - 3 = - 3 < 0$ , що означає, що лiнiя лiворуч вiд 3 має бути пунктирною.

Вибери значення бiльше 3, наприклад $x = 10$ , i пiдстав у вираз $x - 3$ . Отримаєш $10 - 3 = 7 > 0$ , що означає, що лiнiя праворуч вiд 3 має бути суцiльною.

Побудуй цю дiаграму знакiв пiд числовою прямою.

4.

Побудуй дiаграму знакiв для

(x - 4)

. Спершу з’ясуй, у якiй точцi

x - 4 = 0

\begin{array}{l} x - 4 & = 0 \\ x & = 4 \end{array}

Це означає, що потрiбно записати 4 на числовiй прямiй над дiаграмами знакiв.

Потiм з’ясуй, у яких точках дiаграма знакiв є додатною та вiд’ємною:

Вибери значення менше 4, наприклад $x = 0$ , i пiдстав у вираз $x - 4$ . Отримаєш $0 - 4 = - 4 < 0$ , що означає, що лiнiя лiворуч вiд 4 має бути пунктирною.

Вибери значення бiльше 4, наприклад $x = 10$ , i пiдстав у вираз $x - 4$ . Отримаєш $10 - 4 = 6 > 0$ , що означає, що лiнiя праворуч вiд 4 має бути суцiльною.