$House of Math-logo$

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Algebra>Likninger og ulikheter>Likninger>Polynomdivisjon>Hvordan løse tredje- og fjerdegradslikninger

Fra tidligere har du lært å løse lineære likninger (likninger av første grad) og andregradslikninger (likninger av andre grad). I denne seksjonen skal du se på en spesiell type $n$ -tegradslikning (likninger av $n$ -te gard). Du vil i hovedsak se på tredjegrads- og fjerdegradslikninger, og metoden er den samme for begge.

Teori

Typer av tredjegradslikninger

1.

Likningen har

x

i alle ledd:

a x^{3} + b x^{2} + c x = 0 .

2.

Likningen har konstantledd:

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 .

Regel

Løsing av tredjegradslikninger med $x$ i alle ledd

1.

Faktoriser

x

utenfor en parentes,

x (a x^{2} + b x + c) = 0

2.

Faktoriser andregradsuttrykket,

(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0

3.

Faktoriseringen av tredjegradsuttrykket blir da

x (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 .

4.

Løs likningen med nullfaktorregelen (

a \cdot b = 0

hvis

a = 0

eller

b = 0

). Du får da at

x = a

x = x_{1}

x = x_{2}

Eksempel 1

Løs likningen $x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

1.: Du følger oppskriften over og faktoriserer $x$ utenfor en parentes: $\begin{array}{l} x^{3} + 2 x^{2} + x & = 0, \\ x (x^{2} + 2 x + 1) & = 0 . \end{array}$
2.: Nå faktoriserer du andregradsuttrykket enten ved $a b c$ -formelen eller inspeksjon. $\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 & = 0, \\ (x - 1) (x - 1) & = 0 . \end{array}$
3.: Faktoriseringen av tredjegradsuttrykket blir da $\begin{array}{l} x (x - 1) (x - 1) = 0 . \end{array}$
4.: Så løser du likningen: $\begin{matrix} x (x - 1) (x - 1) = 0 \\ x = 0 og x = 1 \end{matrix}$

Eksempel 2

Løs likningen $x^{4} = 9 x^{2}$

\begin{array}{l} x^{4} & = 9 x^{2} \\ x^{4} - 9 x^{2} & = 0 \\ x^{2} (x^{2} - 9) & = 0 \\ x^{2} (x - 3) (x + 3) & = 0 \end{array}

Nå er det bare å bruke nullfaktorregelen for å finne løsningene:

\begin{matrix} x^{2} (x - 3) (x + 3) = 0 \\ x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 og x = 3 og x = - 3 \end{matrix}

Regel

Løsing av tredjegradslikninger med konstantledd

1.

Gjett på løsning og polynomdivider.

2.

Faktoriser tredjegradsuttrykket,

(x - a) (a x^{2} + b x + c) = 0

3.

Faktoriser andregradsuttrykket,

(x - x_{1}) (x - x_{2})

4.

Faktoriseringen av tredjegradsuttrykket blir da

(x - a) (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 .

5.

Løs likningen med produktsetningen (

a \cdot b = 0

hvis

a = 0

eller

b = 0

). Du får da at

x = 0

x = x_{1}

x = x_{2}

Eksempel 3

Løs likningen $x^{3} - 7 x = - 6$

1.

Først flytter du alle leddene over på venstre side.

\begin{array}{l} x^{3} - 7 x & = - 6 \\ x^{3} - 7 x + 6 & = 0 \end{array}

Nå må du gjette på løsning. Begynner med $x = 1$ :

{(1)}^{3} - 7 (1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 .

Flaks for deg, den første løsningen du gjettet på var riktig. (Du begynner som oftest med 1 når du gjetter på løsning).

Du må nå polynomdividere likningen med $(x - 1)$ . Siden uttrykket mangler $x^{2}$ -leddet, så setter du inn ekstra mellomrom der $x^{2}$ -leddet ville vært, eller sett 0 foran $x^{2}$ i polynomdivisjonen. På denne måten er det lettere å holde orden på leddene.