$House of Math-logo$

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Funksjoner>Differensiallikninger>Andreordens>Homogene andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter

En homogen likning er en likning hvor du har 0 på den ene siden av likhetstegnet. En lineær, homogen differensiallikning av andre orden med konstante koeffisienter kan skrives på formen

y^{″} + b y^{'} + c y = 0 .

Ved å gjette at $y = e^{r x}$ får du den karakteristiske likningen

r^{2} + b r + c = 0 .

To reelle løsninger

Når den karakteristiske likningen har to løsninger ( $r_{1}$ eller $r_{2}$ ) kan den generelle løsningen skrives som:

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}

Eksempel 1

Løs differensiallikingen $y^{″} + y^{'} - y = 0$

Den karakteristiske likningen er

\begin{array}{l} r^{2} + r - 1 & = 0, \\ (r + 2) (r - 1) & = 0 . \end{array}

Det gir løsningene $r_{1} = 1$ og $r_{2} = - 2$ . Sett inn i formelen for den generelle løsningen og få

y (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} .

Én reell løsning

Når den karakteristiske likningen har én løsning $r_{1} = r_{2}$ kan den generelle løsningen skrives som

y = C_{1} e^{r x} + C_{2} x e^{r x}

Eksempel 2

Løs differensiallikingen $y^{″} + 2 y^{'} + y = 0$

Den karakteristiske likningen er

\begin{array}{l} r^{2} + 2 r + 1 & = 0, \\ (r + 1) (r + 1) & = 0 . \end{array}

Det gir løsningen $r = r_{1} = r_{2} = 1$ . Sett $r$ inn i formelen for den generelle løsningen og få

y (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} .

To komplekse løsninger

Når $r_{1}$ og $r_{2}$ er komplekse tall skrives den generelle løsningen som

y = e^{A x} (C_{1} \sin B x + C_{2} \cos B x)

hvor $r_{1} = A + B i$ og $r_{2} = A - B i$ , der $i = \sqrt{- 1}$ .

Eksempel 3

Løs differensiallikingen $y^{″} - 2 y^{'} + y = 0$

Du setter opp den karakteristiske likningen. Den blir

r^{2} - 2 r + 5 = 0 .

Det gir

\begin{array}{l} r & = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \\ = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2} \\ = \frac{2 \pm 4 i}{2} \\ = 1 \pm 2 i \end{array}

Dette gir $A = 1$ og $B = 2$ . Sett inn i formelen for den generelle løsningen og få

y (x) = e^{x} (C_{1} \sin (2 x) + C_{2} \cos (2 x)) .

Det kan være svært lurt å kunne disse løsningsformlene utenat!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Eksakte andreordens differensiallikninger

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Initialbetingelser (Andreordens differensiallikninger)

Homogene andreordens differensiallikninger med konstante koeffisienter

Funksjonsteori

Derivasjon og funksjonsdrøfting

Integraler Differensiallikninger

Førsteordens Andreordens

Modellering