Innsettingsmetoden for lineær optimering

$House of Math-logo$

Meny

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Funksjoner>Modellering>Lineær optimering>Innsettingsmetoden for lineær optimering

Regel

Innsettingsmetoden

1.: Sett opp ulikheter ut ifra teksten. Det er ofte naturlig å definere $x \geq 0$ og $y \geq 0$ , siden det er snakk om et antall, og antallet må være større eller lik null, fordi det er vanskelig å produsere et negativt antall enheter.
2.: Løs de ulikhetene du har funnet for $y$ , slik at de er på funksjonsform.
3.: Tegn alle linjene inn i et koordinatsystem. Siden $x \geq 0$ og $y \geq 0$ , så trenger du kun førte kvadrant, altså positiv $x$ -akse og positiv $y$ -akse.
4.: Skraver det aktuelle området!
5.: Kall de ulike hjørnene av området for $A$ , $B$ og så videre.
6.: Regn ut koordinatene til punktene $A$ , $B$ og så videre.
7.: Sett de ulike koordinatene for $A$ , $B$ og så videre inn i $Z$ -funksjonen (se under) og avgjør hvilket punkt som er mest lønnsomt. Det vil si det svaret som er størst.

Teori

$Z$ -funksjonen

$Z$ -funksjonen er ofte en overskudds- eller inntektsfunksjon som bestemmes av hvor mye råvare $x$ og råvare $y$ koster.

Z (x, y) = A x + B y,

der $A$ og $B$ er prisen for de ulike råvarene.

Eksempel 1

En fabrikk som produserer merkevarer skal lage en herreskjorte og et dameskjørt for Tom Ford. Plaggene skal lages av kasjmir og silke. For å lage en skjorte trengs det to lengder kasjmir og én lengde silke. For å lage et dameskjørt trengs én lengde kasjmir og tre lengder silke. Fabrikken har 200 lengder kasjmir og 300 lengder silke til disposisjon. En skjorte selges for 2950 kroner, mens et dameskjørt selges for 4500 kroner. Hvor mange dameskjørt og herreskjorter fabrikken må produsere for å oppnå størst inntekt og hva er denne inntekten?

Punkt 1

Sett først opp begrensningene i teksten som ulikheter. La $x$ være antall herreskjorter og $y$ være antall dameskjørt som produseres. Mengden kasjmir skal fordeles på skjorter og dameskjørt. Mengden silke skal fordeles på skjorter og dameskjørt. Du får dermed disse ulikhetene:

Antall skjorter du produserer kan være ingen skjorter eller flere. Da får du ulikheten:
$x \geq 0 .$
Antall skjørt du produserer kan være ingen skjørt eller flere. Da får du ulikheten:
$y \geq 0 .$
Nå lager du en ulikhet for kasjmir. Fra kasjmirrullen trenger du to lengder til en skjorte og én lengde til et skjørt. Rullen har 200 lengder. Da får du at
$2 x + y \leq 200 .$
Så lager du en ulikhet for silke. Fra silkerullen trenger du én lengde til en skjorte og tre lengder til et skjørt. Rullen har 300 lengder. Da får du at
$x + 3 y \leq 300 .$

Settet med ulikheter blir dermed:

\begin{align} x & \geq 0 & (1) \\ y & \geq 0 & (2) \\ 2 x + y & \leq 200 & (3) \\ x + 3 y & \leq 300 & (4) \end{align}

Punkt 2

Nå løser du ulikhetene med hensyn på $y$ : Først ulikheten (3):

\begin{array}{l} 2 x + y & \leq 200 \\ y & \leq 200 - 2 x \end{array}

Så ulikheten (4):

\begin{array}{l} x + 3 y & \leq 300 \\ 3 y & \leq 300 - x | : 3 \\ y & \leq 100 - \frac{1}{3} x \end{array}

De to andre ulikhetene trenger du ikke gjøre noe med.

Punktene 3 og 4

Tegn nå disse ulikhetene inn i et koordinatsystem og skraver området der alle ulikhetene overlapper hverandre. Du vet at du kun trenger første kvadrant siden både $x$ og $y$ må være større enn eller lik 0. Da blir tegningen slik:

Lineær optimering med to ulikheter tegnet i første kvadrant

Punktene 5 og 6

Fra tegningen velger du det punktet som optimerer. Du vet at det er ett av skjæringspunktene mellom grafene, aksene eller graf og akse. Ved bruk av innsettingsmetoden for likningssett må du nå finne alle skjæringspunktene. Du ser av grafen at:

Punkt $A$ er der $x + 3 y = 300$ skjærer $y$ -aksen. Her er $x = 0$ . Da får du
$\begin{array}{l} 0 + 3 y & = 300 \\ 3 y & = 300 \\ y & = 100 \end{array}$
Dette gir $A = (0, 100)$ , 0 skjorter og 100 skjørt.
Punkt $B$ er der $x + 3 y = 300$ skjærer $2 x + y = 200$ . Du må nå løse likningssettet. Du skrev tidligere ulikhetene (3) og (4) om slik at $y$ var på venstresiden. Om du hadde regnet med dem som likninger ville du fått samme svar. Du har derfor at
$\begin{array}{l} y & = 200 - 2 x \\ y & = 100 - \frac{1}{3} x \end{array}$
Nå setter du uttrykkene for $y$ -ene lik hverandre og får
$\begin{array}{l} 200 - 2 x & = 100 - \frac{1}{3} x \\ 200 - 100 & = 2 x - \frac{1}{3} x \\ 100 & = 2 x - \frac{1}{3} x & | \cdot 3 \\ 300 & = 6 x - x \\ 300 & = 5 x & | : 5 \\ 60 & = x \end{array}$
Sett nå dette inn i $y = 200 - 2 x$ , da dette er den letteste formelen. Du får da at
$y = 200 - 2 \cdot 60 = 200 - 120 = 80 .$

Dette gir $B = (60, 80)$ , 60 skjorter og 80 skjørt.
Punkt $C$ er der $2 x + y = 200$ skjærer $x$ -aksen. Her er $y = 0$ . Da får du
$\begin{array}{l} 2 x + 0 & = 200 \\ 2 x & = 200 | : 2 \\ x & = 100 \end{array}$
Dette gir $C = (100, 0)$ , 100 skjorter og 0 skjørt.
Punkt $D = (0, 0)$ , 0 skjorter og 0 skjørt.

De ulike punktene over vise ulike produksjonskombinasjoner for skjorter og skjørt.

Punkt 7

Du regner ut inntektene til fabrikken ved å sette $x$ -verdiene og $y$ -verdiene du fant i forrige punkt inn i inntektsfunksjonen $Z (x, y)$ og ser hvilket punkt som gir størst svar.

Du vet at en herreskjorte koster $2950$ kr og at dameskjørtet koster $4500$ kr. Disse setter du inn for $A$ og $B$ i $Z (x, y)$ -formelen $(Z (x, y) = A x + B y)$ og får

Z (x, y) = 2950 x + 4500 y .

Du regner nå ut inntektene ved de ulike produksjonene:

Inntekten $Z$ for punktet $A = (0, 100)$ :

\begin{array}{l} Z (0, 100) & = 2950 \cdot 0 + 4500 \cdot 100, \\ = 450 000 . \end{array}

Inntekten $Z$ for punktet $B = (60, 80)$ :

\begin{array}{l} Z (60, 80) & = 2950 \cdot 60 + 4500 \cdot 80, \\ = 177 000 + 360 000, \\ = 537 000 . \end{array}

Inntekten $Z$ for punktet $C = (100, 0)$ :

\begin{array}{l} Z (100, 0) & = 2950 \cdot 100 + 4500 \cdot 0, \\ = 295 000 . \end{array}

Inntekten $Z$ for punktet $D = (0, 0)$ :

\begin{array}{l} Z (0, 0) & = 2950 \cdot 0 + 4500 \cdot 0, \\ = 0 . \end{array}

Altså, fabrikken tjener $537 000$ kr ved å produsere 60 herreskjorter og 80 dameskjørt. Dette er optimalt siden de andre produksjonsmengdene ville gitt lavere inntjening.