Pascals trekant er et fantastisk hjelpemiddel, spesielt når du skal regne ut uttrykk på formen
Teori
Pascals trekant er bygget opp av binomialkoeffisienten
Det som er spesielt med Pascals trekant er at både radnummeret og plassnummeret starter på
Ved å bruke denne fremgangsmåten kan du lett finne akkurat den koeffisienten du trenger til det du skal regne ut.
NB! Generelt har du at
Overbevis deg selv om at dette stemmer!
Eksempel 1
Finn tallene på rad 3 i Pascals trekant.
Rad tre betyr at
Dersom du regner ut verdiene til binomialkoeffisientene får du denne trekanten:
NB! Alle rader i Pascals trekant begynner og slutter med 1.
Men hvordan kan du gå frem dersom du ikke skal bruke binomialkoeffisienter? Det finnes en superenkel metode dersom du allerede har raden over, da blir det som følger:
Teori
Når du legger sammen to tall som står ved siden av hverandre på en rad, så får du tallet som står mellom disse to tallene på raden under.
Eksempel 2
Skriv de fire første radene i Pascals trekant ved å summere radelementer.
Første rad:
Har ett element, men er radnummer
Andre rad:
Har to elementer, men er radnummer
Tredje rad:
Har tre elementer, men er radnummer
Her ser du at
Fjerde rad:
Har fire elementer, men er radnummer
Her ser du at
I Pascals trekant kan du alltid legge til en ny rad ved å følge en av metodene over, men dersom du skal finne en rad langt nede i trekanten er det lettest å bruke binomialkoeffisienten
Trekanten brukes blant annet til å finne antall kombinasjoner og utregning av uttrykk på formen
Eksempel 3
Figuren under viser et utsnitt av Pascals trekant.
Finn verdiene for
Du vet at summen av to nabotall er lik tallet mellom dem på linjen under. Ut ifra dette kan du finne to likninger med to ukjente:
Du løser (1) med hensyn på
| (3) |
Du løser (2) med hensyn på
Du finner
|
De savnede tallene i Pascals trekant er dermed 35 og 56.
Eksempel 4
Her ser du hvordan du skal bruke binomialformelen til å regne ut uttrykk på formen
Eksempel 5
Regn ut
Denne kan du regne ut på den tungvinte måten ved å gange ut alle parentesene. Men det gidder du ikke, så du bruker heller Pascals trekant, som vist i forrige eksempel. For å gjøre dette ser du først på eksponenten, den er 4. Du vet derfor at radnummer 4 i Pascals trekant har koeffisientene du trenger (husk, du begynner å telle med radnummer 0). Koeffisientene blir dermed:
Når du regner ut disse får du tallene:
Du skriver så opp utregningen av leddene i
Parentesen består av to ledd
Eksponenten til det første leddet (
Eksponenten til det andre leddet (
Dette ser slik ut:
Du kan nå sette de fem koeffisientene over foran hver av de fem leddene i utregningen. Da får du dette: