Tallrekker og serielån

$House of Math-logo$

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Tall og måling>Tall>Tallmønstre og rekker>Rekker>Tallrekker og serielån

Teori

Serielån

Et serielån er et lån hvor du betaler ulike terminbeløp hver termin. Terminbeløpet består av et avdrag og en rentekostnad. Med serielån er avdraget konstant, mens rentekostnaden endrer seg fra termin til termin.

Du betaler høye rentekostnader i begynnelsen siden lånet er stort, og lavere rentekostnader mot slutten siden lånet da er mindre. Siden avdragene alltid er de samme og rentekostnaden avtar, betaler du høye terminbeløp i begynnelsen av låneperioden og lavere terminbeløp mot slutten av låneperioden.

Et serielån er billigere enn et annuitetslån, fordi den samlede rentekostnaden for et annuitetslån er høyere enn den samlede rentekostnaden for et serielån. Likevel velger de fleste nordmenn annuitetslån, fordi de ofte får låne mer penger på den måten.

Du kan bruke aritmetiske rekker for å regne på det årlige restlånet.

Eksempel 1

Et lån på $150 000 kr$ over 20 år følger en aritmetisk rekke. Renten på lånet er $5 %$ . De fire første restlånene er $150 000$ , $142 500$ , $135 000$ og $127 500$ . Hva er restlånet etter 13 år og hvor stor er rentekostnaden på hele lånet?

Fra oppgaven ser du at de ulike restlånene kan ordnes som en rekke, der hvert års restlån er et ledd i rekken.

150 000 + 142 500 + 135 000 + 127 500 + \dots

Du finner dermed et vilkårlig restlån i år $n$ ved å regne ut $a_{n}$ . Siden dette er en aritmetisk rekke kan du bruke formelen for å finne det $n$ -te leddet i en aritmetisk rekke, $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . For å gjøre dette må du først finne $d$ :

d = a_{n + 1} - a_{n} = 142 500 - 150 000 = - 7500

Du kan nå finne et uttrykk for $a_{n}$ : $\begin{array}{l} a_{n} & = 150 000 + (n - 1) (- 7500) \\ = 157 500 - 7500 n \end{array}$

For å finne restlånet etter 13 år setter du $n = 13$ og regner ut:

a_{13} = 157 500 - 7500 \cdot 13 = 60 000

For å finne rentekostnaden for hele lånet kan du se på hvert enkelt restlån. Dersom du beregner rentekostnaden for hvert restlån og summerer disse vil du få rentekostnaden på hele lånet. På denne måten får du en ny aritmetisk rekke der rentekostnaden for det først restlånet er $r_{1} = 150 000 \cdot 0, 05$ , rentekostnaden for det andre restlånet er $r_{2} = 142 500 \cdot 0, 05$ og rentekostnaden til det $n$ -te restlånet $r_{n} = a_{n} \cdot 0, 05$ . Den nye aritmetiske rekken blir dermed: