$House of Math-logo$

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Tall og måling>Tall>Tallmønstre og rekker>Rekker>Uendelige geometriske rekker og konvergensområder

En uendelig geometrisk rekke har uendelig mange ledd,

a_{1} + a_{1} k + a_{1} k^{2} + \dots + a_{1} k^{n} + \dots

Summen av rekken konvergerer mot et bestemt tall dersom kvotienten $k$ ligger mellom $- 1$ og 1. Da er summen:

S = \frac{a_{1}}{1 - k} .

Eksempel 1

Et legat opprettes av en pensjonert mangemillionær, som skal gi ut stipend på $50 000 kr$ i året til flinke matematikkstudenter i all fremtid. Pengene settes på bankkonto som gir $3, 5 %$ rente per år. Hvor mye penger må settes inn?

Nåverdiene av de årlige utbetalingene til matematikkstudentene danner den uendelig geometriske rekken under:

\frac{50 000}{1, 035} + \frac{50 000}{1, 03 5^{2}} + \frac{50 000}{1, 03 5^{3}} + \dots

Her er $k = \frac{1}{1, 035}$ og $a_{1} = \frac{50 000}{1, 035}$ . Du vet at rekken konvergerer siden $k$ ligger mellom $- 1$ og 1.

Du må finne summen av en uendelig geometrisk rekke for å finne ut hvor mye som skal settes inn på bankkontoen:

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{50 000}{1, 035}}{1 - \frac{1}{1, 035}} \approx 1 428 571, 40 kr .

Dermed må den ukjente mangemillionæren sette inn $1 428 571, 40$ kr på bankkontoen.

Når kvotienten $k$ er en funksjon av $x$ , er konvergensområdet gitt ved: $- 1 < k (x) < 1$ . Da kan du finne konvergensområdet enten ved å løse

| k (x) | < 1

eller ved å løse

k {(x)}^{2} < 1 .

De to fremgangsmåtene er likeverdige.

Regel

Konvergensområde

Når kvotienten $k$ er en funksjon av $x$ , er konvergensområdet gitt ved: $- 1 < k (x) < 1$ . Da kan du finne konvergensområdet ved å løse

k {(x)}^{2} < 1 .

Eksempel 2

Alternativ 1: Løsing ved dobbel ulikhet

Du har en geometrisk rekke med kvotient $k (x) = 2 x + 3$ . Finn konvergensområdet.

Du begynner med å sette opp ulikheten:

| k (x) | = | 2 x + 3 | < 1

Siden dette er en absoluttverdi må du dele den i to likninger, løse dem separat og bruke fortegnslinjer for å finne intervallet du leter etter.

\begin{array}{l} 2 x + 3 & < 1 & - (2 x + 3) & < 1 \\ 2 x & < - 2 & - 2 x - 3 & < 1 \\ x & < - 1 & - 2 x & < 4 \\ x & > - 2 \end{array}

Tegn disse ulikhetene inn i et fortegnsskjema, én linje for hver ulikhet. Tolk så fortegnslinjene, der løsningen på ulikheten er området hvor begge ulikhetene er oppfylt. Området er der den uendelige geometriske rekken konvergerer.

Fortegnslinje som viser konvergensområdet

Fra fortegnslinjene ser du at rekken konvergerer for $x \in ⟨ - 2, - 1 ⟩$ .

Eksempel 3

Alternativ 2: Løsing ved enkel ulikhet
Du har en geometrisk rekke med kvotient $k (x) = 2 x + 3$ . Finn konvergensområdet.

Du kan også velge å løse oppgaven ved å se på ulikheten

k {(x)}^{2} < 1 .

I dette tilfellet får du altså at

\begin{array}{l} {(2 x + 3)}^{2} & < 1 \\ {(2 x + 3)}^{2} - 1 & < 0 \end{array}

Nå bruker du konjugatsetningen til å faktorisere venstresiden:

\begin{array}{l} ((2 x + 3) + 1) ((2 x + 3) - 1) & < 0 \\ (2 x + 4) (2 x + 2) & < 0 \end{array}

Bruk nå fortegnslinjer til å finne svaret. Tegn fortegnslinjen til hver faktor og tolk fortegnsskjemaet:

Fortegnslinje som viser konvergensområdet

Siden du ser etter området der $k {(x)}^{2} < 1$ vil svaret være intervallet med den stiplede linjen. Du ser dermed at rekken konvergerer for $x \in ⟨ - 2, - 1 ⟩$ .