En uendelig geometrisk rekke har uendelig mange ledd,
|
Summen av rekken konvergerer mot et bestemt tall dersom kvotienten
|
Eksempel 1
Et legat opprettes av en pensjonert mangemillionær, som skal gi ut stipend på
Nåverdiene av de årlige utbetalingene til matematikkstudentene danner den uendelig geometriske rekken under:
|
Her er
Du må finne summen av en uendelig geometrisk rekke for å finne ut hvor mye som skal settes inn på bankkontoen:
|
Dermed må den ukjente mangemillionæren sette inn
Når kvotienten
|
eller ved å løse
|
De to fremgangsmåtene er likeverdige.
Regel
Når kvotienten
|
Eksempel 2
Du har en geometrisk rekke med kvotient
Du begynner med å sette opp ulikheten:
|
Siden dette er en absoluttverdi må du dele den i to likninger, løse dem separat og bruke fortegnslinjer for å finne intervallet du leter etter.
Tegn disse ulikhetene inn i et fortegnsskjema, én linje for hver ulikhet. Tolk så fortegnslinjene, der løsningen på ulikheten er området hvor begge ulikhetene er oppfylt. Området er der den uendelige geometriske rekken konvergerer.
Fra fortegnslinjene ser du at rekken konvergerer for
Eksempel 3
Du har en geometrisk rekke med kvotient
Du kan også velge å løse oppgaven ved å se på ulikheten
|
I dette tilfellet får du altså at
Nå bruker du konjugatsetningen til å faktorisere venstresiden:
Bruk nå fortegnslinjer til å finne svaret. Tegn fortegnslinjen til hver faktor og tolk fortegnsskjemaet:
Siden du ser etter området der