Likningen for en kuleflate

$House of Math-logo$

Meny

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Tall og måling>Vektorer>Tre dimensjoner>Kuler>Likningen for en kuleflate

Kuleflate med snitt som skjærer sentrum

Kuleflaten kan tenkes på som skinnet på en fotball. Kuleflater kan betegnes matematisk ved denne likningen:

Teori

Likningen for en kuleflate

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r_{0}^{2},

der $r$ er radius og $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ er sentrum av kulen.

Ofte får du ikke likningen ferdig oppgitt i oppgaven. Du må utlede den ved å bruke fullstendige kvadraters metode, ved å bruke at

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + (\frac{b}{2}))}^{2} .

For å gjøre om til kvadrater følger du denne oppskriften:

Regel

Avgjør om et uttrykk er likningen for en kule

Du starter med et andregradsuttrykk på formen

x^{2} + b x + y^{2} + d y + z^{2} + f z = g .

(1)

NB! Koeffisientene for andregradsleddene er 1.

1.

Begynn med leddene med

x

i seg:

x^{2} + b x

Legge til

{(\frac{b}{2})}^{2}

på hver side av Likning (1) slik at du får

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} + \dots = {(\frac{b}{2})}^{2} + \dots

2.

Du kan nå faktorisere

x

-leddene på venstre side:

x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} = {(x + (\frac{b}{2}))}^{2}

Gjenta disse stegene med $y$ -leddene og med $z$ -leddene hver for seg.

3.

Nå kan du skrive hele venstresiden som en sum av kvadrater og legge sammen alle konstantleddene på høyre side. Om høyresiden er positiv, kan den skrives som

r^{2}

og uttrykket vil være likningen for en kuleflate:

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2} .

Denne oppskriften kan virke litt omfattende, men er lettere å forstå gjennom et eksempel.

Eksempel 1

En kuleflate har denne formelen:

x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} = 4

Finn sentrum og radius for kulen.

For at du skal kunne finne sentrum og radius trenger du å gjøre om uttrykket ditt til likningen for en kule. Da må du få skrevet $x$ -leddene om til et kvadrat, $y$ -leddene om til et kvadrat og $z$ -leddene om til et kvadrat.

Punktene 1 og 2.

Du kan gjøre disse skrittene sammen, siden målet er å bruke fullstendige kvadraters metode. For å gjøre $x^{2} + 4 x$ til et kvadrat tar du 4 (tallet foran $x$ ) og deler på 2, og setter legger det til på begge sider. Du får:

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{4}{2})}^{2} \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{4}{2})}^{2} \end{array}

For å fullføre et kvadrat av $y^{2} - 2 y$ tar du ${(\frac{- 2}{2})}^{2}$ og legger til på begge sider. Du får:

\begin{array}{l} y^{2} - 2 y + {(\frac{- 2}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \\ {(y + \frac{- 2}{2})}^{2} + \dots & = \dots + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \end{array}

Du ser at $z^{2}$ allerede er et ferdig kvadrat så dette kan du la være i fred.

Punkt 3.

Nå må du bare bruke dette i likningen for kuleflaten og rydde opp.

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} & = 4 \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} + {(y + \frac{- 2}{2})}^{2} + z^{2} & = 4 + {(\frac{4}{2})}^{2} \\ + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 4 + 4 + 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 3^{2} \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} & = 4 \\ {(x + \frac{4}{2})}^{2} + {(y + \frac{- 2}{2})}^{2} + z^{2} & = 4 + {(\frac{4}{2})}^{2} + {(\frac{- 2}{2})}^{2} \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 4 + 4 + 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} & = 3^{2} \end{array}

Fra dette ser du at radien

r = 3

og sentrum

s = (- 2, 1, 0)

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Overflaten av et kulesegment