Коли сфера перетинається з площиною, перетин можна описати як точку або як коло. У цiй статтi описується випадок, коли перетин вiдбувається в однiй точцi. Щоб дiзнатися про перетин по колу, клацни тут.
Якщо перетин мiж дотичною площиною та поверхнею сфери є точкою, ми називаємо цю точку точкою дотику. Щоб знайти її, виконуємо такi дiї:
Як бачимо, вектор, проведений вiд центра сфери до точки дотику, має бути перпендикулярним до дотичної площини, тому що кут мiж дотичною та прямою, проведеною з точки дотику до центру сфери, завжди дорiвнює
Приклад 1
Дано сферичну поверхню з центром у
|
Знайди точку дотику.
Як бачимо,
|
|
Пiдставляємо це значення замiсть
|
Ця точка є точкою перетину мiж прямою, що проходить через центр, i дотичною площиною, що також робить її точкою дотику.
Формула
Точка дотику
|
Приклад 2
Вiд нас часто вимагатимуть показати, що площина дотична до сферичної поверхнi, i знайти точку дотику. Площина є дотичною до сферичної поверхнi, якщо вiдстань вiд центра
Скажiмо, в нас є сфера
|
i площина
|
З рiвняння сфери бачимо, що радiус дорiвнює
Щоб знайти точку дотику сферичної поверхнi та площини, виконуємо дiї, як у попередньому прикладi (Приклад 1). Також можна скористатися наведеною вище формулою для знаходження точки дотику сферичної поверхнi та площини.
Зверни увагу! В цьому випадку вектор нормалi може завести нас у хибному напрямку, i ми опинимося з протилежного боку сфери. Тому перевiряємо, чи лежить наша вiдповiдь у дотичнiй площинi. Якщо нi, то просто змiнюємо
Тодi радiус сфери та вiдстань мiж центром i площиною сфери будуть однаковими, а отже,
|
Пiдставляємо цi значення в рiвняння дотичної площини, щоб перевiрити, чи у правильному напрямку ми рухаємося. Отримуємо
|
Пiдставляємо цi значення у рiвняння площини. Отримуємо
|