Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Коли сфера перетинається з площиною, перетин можна описати як точку або як коло. У цiй статтi описується випадок, коли перетин вiдбувається в однiй точцi. Щоб дiзнатися про перетин по колу, клацни тут.

Якщо перетин мiж дотичною площиною та поверхнею сфери є точкою, ми називаємо цю точку точкою дотику. Щоб знайти її, виконуємо такi дiї:

Як бачимо, вектор, проведений вiд центра сфери до точки дотику, має бути перпендикулярним до дотичної площини, тому що кут мiж дотичною та прямою, проведеною з точки дотику до центру сфери, завжди дорiвнює 90°. А отже, цей вектор парелельний вектору нормалi до дотичної площини, i через точку дотику та центр сфери можна провести пряму з вектором нормалi як напрямним вектором. Щоб знайти точку дотику, шукаємо перетин мiж прямою та дотичною площиною.

Сфера, яку перетинає дотична площина

Приклад 1

Дано сферичну поверхню з центром у (1,1,2) i дотичну площину, задану рiвнянням

x+2y=0.

Знайди точку дотику.

Як бачимо, (1,2,0) — це вектор нормалi до площини. Це означає, що параметричне рiвняння для прямої, яка проходить через центр, iз вектором нормалi як напрямним вектором має вигляд

x(t)=1+t,y(t)=1+2t,z(t)=2.

x(t)=1+t,y(t)=1+2t,z(t)=2.

Пiдставляємо цi данi у рiвняння для знаходження дотичної площини. Отримуємо

(1+t)+2(1+2t)=03+5t=0t=35.

Пiдставляємо це значення замiсть t у параметричному рiвняннi. Отримуємо

(1+35,1+235,2)=(25,15,2).

Ця точка є точкою перетину мiж прямою, що проходить через центр, i дотичною площиною, що також робить її точкою дотику.

Формула

Точка дотику сферичної поверхнi i площини

Точка дотику T, в якiй площина з вектором нормалi n перетинає сферу з радiусом r i центром C, задана виразом

OT=OC+r1|n|n.

Приклад 2

Вiд нас часто вимагатимуть показати, що площина дотична до сферичної поверхнi, i знайти точку дотику. Площина є дотичною до сферичної поверхнi, якщо вiдстань вiд центра c сфери до площини α дорiвнює радiусу сфери.

Скажiмо, в нас є сфера

(x2)2+(y1)2+z2=9

i площина

2x+y2z+4=0.

З рiвняння сфери бачимо, що радiус дорiвнює r=9=3, а центр знаходиться в точцi (2,1,0). Щоб показати, що площина є дотичною до поверхнi сфери, використовуємо формулу вiдстанi мiж точкою та площиною, i перевiряємо, чи вiдповiдь дорiвнює радiусу сфери, який, як ми знаємо, дорiвнює 3:

|2(2)+112(0)+4|22+12+(2)2=|4+1+0+4|9=|9|3=3

Щоб знайти точку дотику сферичної поверхнi та площини, виконуємо дiї, як у попередньому прикладi (Приклад 1). Також можна скористатися наведеною вище формулою для знаходження точки дотику сферичної поверхнi та площини.

Зверни увагу! В цьому випадку вектор нормалi може завести нас у хибному напрямку, i ми опинимося з протилежного боку сфери. Тому перевiряємо, чи лежить наша вiдповiдь у дотичнiй площинi. Якщо нi, то просто змiнюємо n на n.

Тодi радiус сфери та вiдстань мiж центром i площиною сфери будуть однаковими, а отже,

(2,1,0)+313(2,1,2)=(4,2,2).

Пiдставляємо цi значення в рiвняння дотичної площини, щоб перевiрити, чи у правильному напрямку ми рухаємося. Отримуємо

2x+y2z+4=24+122(2)+4=8+2+4+4=180.

2x+y2z+4=24+122(2)+4=8+2+4+4=180.

Як бачимо, це не задовольняє рiвнянню площини, а це означає, що вектор нормалi скерував нас у хибному напрямку. Якщо змiнити знак перед вектором нормалi, то отримаємо

(2,1,0)313(2,1,2)=(0,0,2).

Пiдставляємо цi значення у рiвняння площини. Отримуємо

2x+y2z+4=20+022+4=4+4=0.

2x+y2z+4=20+022+4=4+4=0.

Тодi OT=(0,0,2).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!