Як знайти лінію перетину між двома площинами

$Кольоровий логотип House of Math$

Двi площини, що перетинаються

Двi рiзнi площини будуть паралельними одна однiй або перетинатимуться вздовж лiнiї. Параметричне рiвняння прямої можна знайти за точкою на прямiй та за напрямним вектором. Щоб знайти напрямний вектор ${\vec{r}}_{l}$ , беремо векторний добуток векторiв нормалi до площин:

\begin{array}{l} α : a x + b y + c z = 0 \\ β : f x + g y + h z = 0 \end{array}

Порядок дiй для знаходження лiнiї перетину:

Правило

1.: Щоб знайти напрямний вектор, беремо векторний добуток ${\vec{n}}_{α}$ i ${\vec{n}}_{β}$ , за якого ${\vec{r}}_{l} = {\vec{n}}_{α} \times {\vec{n}}_{β}$ . За напрямного вектора $(0, 0, 0)$ площини паралельнi одна однiй. У цьому разi вони не мають лiнiї перетину, i розрахункiв виконувати не потрiбно.
2.: Щоб знайти точку на прямiй, задаємо одну з координат у рiвняннях обох площин рiвною нулю та розв’язуємо систему рiвнянь, яку отримали. Зверни увагу! Якщо $z = 0$ , а лiнiя перетину перпендикулярна до осi $z$ , то жодна точка на прямiй не матиме $z = 0$ . Те саме стосується й осей $x$ i $y$ . У цьому випадку просто задаємо одну з iнших змiнних рiвною $0$ i розв’язуємо нову систему рiвнянь. Якщо й це не допоможе, пробуємо задати останню координату рiвною $0$ .
3.: Тепер використовуємо точку та напрямний вектор, якi знайшли, щоб скласти параметричне рiвняння для прямої.