$House of Math-logo$

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Algebra>Likninger og ulikheter>Ulikheter>Andre ulikheter>Hvordan løse ulikheter av høyere grad

Når du skal løse ulikheter av høyere grad bruker du samme metode som for andregradsulikheter, men noen ganger må du finne minst én løsning for å kunne faktorisere. Da kan det være at du må polynomdividere.

Regel

$n$ -tegradsulikheter

1.: Samle alle leddene på venstre side.
2.: Rydd opp og gjør så enkelt som mulig.
3.: Faktoriser.
4.: Tegn fortegnslinjer og les av svaret.

Eksempel 1

Finn området der ulikheten

x^{3} + 6 x^{2} - 6 > 2 x^{2} - x

er sann

Først må du flytte alle leddene over på venstre side. Deretter må du faktorisere tredjegraduttrykket $P$ på venstre side. Det gjør du ved å gjette på løsning. Når du skal gjette på løsning er det naturlige prøve $x = 1, - 1, 2, - 2, \dots$ Ved å sette inn disse verdiene i tredjegraduttrykket finner du at $P (1) = 0$ , slik at $x = 1$ er en løsning. Nå polynomdividerer du uttrykket $P (x)$ med $x - 1$ og finner at løsningen blir en andregradslikning. Her følger regningen:

\begin{array}{l} x^{3} + 6 x^{2} - 6 & > 2 x^{2} - x \\ x^{3} + 6 x^{2} - 6 - 2 x^{2} + x & > 0 \\ x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 & > 0 \end{array}

Du må løse denne ulikheten som en likning. Det gjør du ved å sette uttrykket lik null. Det er nå du gjetter på løsning. Sjekker først $x = 1$ : $\begin{array}{l} P (1) & = {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} + (1) - 6 \\ = 1 + 4 + 1 - 6 \\ = 0 . \end{array}$

Her hadde du flaks, siden du kun måtte teste én mulig løsning. Du har nå funnet løsningen $x = 1$ . Nå polynomdividerer du uttrykket med $x = 1$ :

Polynomdivisjon av x^3+4x^2+x-6 delt på x-1

Nå må du faktorisere svaret på polynomdivisjonen. Det gjør du ved å løse andregradslikningen og sette svarene inn i faktoriseringsformelen

a (x - x_{1}) (x - x_{2})

. Her er

x_{1}

x_{2}

svarene på andregradslikningen. Ved inspeksjon ser du at

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) .

Dermed blir faktoriseringen av tredjegraduttrykket

\begin{array}{l} (x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) \\ = (x - 1) (x^{2} + 5 x + 6) \\ = (x - 1) (x + 2) (x + 3) \end{array}

\begin{array}{l} (x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) & = (x - 1) (x^{2} + 5 x + 6) \\ = (x - 1) (x + 2) (x + 3) \end{array}

Lag fortegnslinjer for hver faktor i uttrykket

(x - 1) (x + 2) (x + 3),

(x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) = (x - 1) (x + 2) (x + 3),

og avgjør hvor $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ er positiv og negativ. Siden du skal finne området der $x^{3} + 6 x^{2} - 6 > 2 x^{2} - x$ , leser du av området der fortegnslinjene er heltrukne.