Produktregelen for derivasjon | House of Math

$House of Math-logo$

Meny

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Statistikk og sannsynlighet

Oppslagsverk>Funksjoner>Derivasjon og funksjonsdrøfting>Derivasjon>Produktregelen for derivasjon

Produktregelen er den derivasjonsregelen du bruker når du har to eller flere funksjoner ganget med hverandre.

La $u (x)$ og $v (x)$ være to funksjoner av $x$ . Da har vi en regel vi kan bruke for å finne den deriverte av produktet av disse to funksjonene. Produktet av disse funksjonene vil være den nye funksjonen $u (x) \cdot v (x)$ . For enkelhets skyld, skriver vi bare $u$ og $v$ for funksjonene $u (x)$ og $v (x)$ , men husk at disse er funksjoner av $x$ .

Formel

Produktregelen

{(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'},

der $u = u (x)$ og $v = v (x)$ .

Eksempel 1

Deriver uttrykket $x^{2} \sqrt{2 x}$

Her kaller du $u = x^{2}$ og $v = \sqrt{2 x}$ . Da får du at $u^{'} = 2 x$ og at $v^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {(x^{2} \sqrt{2 x})}^{'} & = {(x^{2})}^{'} \cdot \sqrt{2 x} + x^{2} \cdot {(\sqrt{2 x})}^{'} \\ = 2 x \cdot \sqrt{2 x} + x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x}} \\ = 2 x \sqrt{2 x} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{2 x \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{4 x^{2}}{\sqrt{2 x}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{2 x}} \end{array}

Eksempel 2

Deriver uttrykket $e^{x} (2 x^{3} + 3 x)$

Her kaller du $u = e^{x}$ og $v = 2 x^{3} + 3 x$ . Da får du at $u^{'} = e^{x}$ og at $v^{'} = 6 x^{2} + 3$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {[e^{x} (2 x^{3} + 3 x)]}^{'} & = {(e^{x})}^{'} \cdot (2 x^{3} + 3 x) \\ + e^{x} \cdot {(2 x^{3} + 3 x)}^{'} \\ = e^{x} \cdot (2 x^{3} + 3 x) \\ + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 3) \\ = 2 x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} \\ = e^{x} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 3) \end{array}

\begin{array}{l} {[e^{x} (2 x^{3} + 3 x)]}^{'} & = {(e^{x})}^{'} \cdot (2 x^{3} + 3 x) + e^{x} \cdot {(2 x^{3} + 3 x)}^{'} \\ = e^{x} \cdot (2 x^{3} + 3 x) + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 3) \\ = 2 x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} \\ = e^{x} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 3) \end{array}

Eksempel 3

Deriver uttrykket $(x^{2} + x - 1) \ln x$

Her kaller du $u = x^{2} + x - 1$ og $v = \ln x$ . Da får du at $u^{'} = 2 x + 1$ og at $v^{'} = \frac{1}{x}$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {[(x^{2} + x - 1) \ln x]}^{'} & = {(x^{2} + x - 1)}^{'} \cdot \ln x \\ + (x^{2} + x - 1) \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = (2 x + 1) \cdot \ln x \\ + (x^{2} + x - 1) \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 x \ln x + \ln x + x + 1 - \frac{1}{x} \end{array}

\begin{array}{l} {[(x^{2} + x - 1) \ln x]}^{'} & = {(x^{2} + x - 1)}^{'} \cdot \ln x + (x^{2} + x - 1) \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = (2 x + 1) \cdot \ln x + (x^{2} + x - 1) \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 x \ln x + \ln x + x + 1 - \frac{1}{x} \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Pil som peker til venstre

Forrige oppslag

Kjerneregelen for derivasjon

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Pil som peker til høyre

Brøkregelen for derivasjon