Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjoner

$House of Math-logo$

Meny

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Funksjoner>Derivasjon og funksjonsdrøfting>Funksjonsdrøfting>Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjoner

Du skal nå se et eksempel på drøfting av en eksponentialfunksjon. Oppskriften er som følger:

Regel

Drøfting av eksponentialfunksjoner

1.: Finn nullpunktene.
2.: Finn topp- og bunnpunktene.
3.: Finn vendepunktene.

Eksempel 1

Drøft funksjonen $f (x) = 2 x^{2} \cdot e^{x}$

Grafen til f(x) = 2x^2e^x.

1.

Finn nullpunktene ved å sette

f (x) = 0

2 x^{2} \cdot e^{x} = 0 .

Nullfaktorregelen gir at $2 x^{2} = 0$ eller $e^{x} = 0$ . Imidlertid er $e^{x}$ alltid positiv, så du får

\begin{array}{l} 2 x^{2} & = 0 \\ x^{2} & = 0 \\ x & = 0 \end{array}

Nullpunktet er dermed i origo $(0, 0)$ .

2.

Finn topp- og bunnpunktene ved å sette

f^{'} (x) = 0

Finn først den deriverte av $f (x) = 2 x^{2} \cdot e^{x}$ :

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 4 x \cdot e^{x} + 2 x^{2} \cdot e^{x} \\ = e^{x} (4 x + 2 x^{2}) \\ = 2 x \cdot e^{x} (2 + x) \end{array}

Du setter nå uttrykket til den deriverte $f (x)$ lik 0:

2 x \cdot e^{x} (2 + x) = 0 .

Igjen er $e^{x}$ alltid positiv, så nullfaktorregelen gir at

\begin{array}{l} 2 x & = 0 & \Rightarrow & x & = 0 \\ 2 + x & = 0 & \Rightarrow & x & = - 2 \end{array}

For å finne punktene trenger du de tilhørende $y$ -verdiene. Disse finner du ved å sette $x$ -verdiene tilbake i hovedfunksjonen $f (x)$ :

\begin{array}{l} y & = f (0) = 2 \cdot 0^{2} \cdot e^{0} = 0 \\ y & = f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} \cdot e^{- 2} = 8 e^{- 2} \\ = \frac{8}{e^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} y & = f (0) = 2 \cdot 0^{2} \cdot e^{0} = 0 \\ y & = f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} \cdot e^{- 2} = 8 e^{- 2} = \frac{8}{e^{2}} \end{array}

Du må nå bestemme hvilket punkt som er et toppunkt, og hvilket punkt som er et bunnpunkt. Det gjør du ved å tegne fortegnslinjer.

Fortegnsskjema for f’(x) = 2xe^x(2+x).

Du ser av fortegnslinjene at toppunktet er $(- 2, \frac{8}{e^{2}})$ og at bunnpunktet er $(0, 0)$ .

3.

Finn vendepunktene ved å sette

f^{″} (x) = 0

Du finner først den andrederiverte ved å derivere $f^{'} (x) = e^{x} (4 x + 2 x^{2})$ :

\begin{array}{l} f^{″} (x) & = e^{x} (4 x + 2 x^{2}) + e^{x} (4 + 4 x) \\ = e^{x} (4 x + 2 x^{2} + 4 + 4 x) \\ = e^{x} (2 x^{2} + 8 x + 4) \end{array}

Setter nå $f^{″} (x) = 0$ og løser likningen:

e^{x} (2 x^{2} + 8 x + 4) = 0 .

Siden $e^{x}$ alltid er positiv gir nullfaktorregelen at

2 x^{2} + 8 x + 4 = 0 .

Denne løser du ved $a b c$ -formelen og får løsningene $x \approx - 0, 6$ og $x \approx - 3, 4$ . Du finner de tilhørende $y$ -verdiene ved å sette tilbake i hovedfunksjonen $f (x)$ . Da får du:

\begin{array}{l} y & = f (- 3, 4) \\ = 2 \cdot {(- 3, 4)}^{2} \cdot e^{- 3, 4} \\ \approx 0, 772 \\ y & = f (- 0, 6) \\ = 2 {(- 0, 6)}^{2} \cdot e^{- 0, 6} \\ = 8 e^{- 0, 6} \\ \approx 0, 395 \end{array}

Du har dermed vendepunkter i $(- 3, 4, 0, 772)$ og $(- 0, 6, 0, 395)$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Funksjonsdrøfting av cosinusfunksjon

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!