$House of Math-logo$

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Funksjoner>Funksjonsteori>Funksjonstyper>Eksponentialfunksjoner med tallet e

Når noe øker eller minker med samme prosent i hver periode har du eksponentiell (prosentvis) vekst. Den eksponentielle veksten kan være negativ, da avtar grafen mot høyre fremfor å stikke til himmels som den ellers gjør.

I eksponentialfunksjoner kan du enten bruke et vilkårlig tall $b$ som grunntall eller $e$ som grunntall.

Teori

Eksponentialfunksjon

Eksponentialfunksjoner kan forekomme med $e$ som grunntall eller med et vilkårlig tall $b$ som grunntall. I begge tilfeller er $a$ en konstant. De ser slik ut:

f (x) = a \cdot e^{k x} f (x) = a \cdot b^{x}

NB! Disse funksjonene er omskrivninger av hverandre og har derfor identiske grafer $(b = e^{k})$ . Legg merke til at argumentet $x$ nå er i eksponenten! $a$ , $b$ og $k$ er tall.

Når $a$ -verdien i funksjonsuttrykket er positivt, så ser grafen ut som én av de to grafene nedenfor.

Regel

Grafen til eksponentialfunksjonen

Grafene til en voksende og en avtakende eksponentialfunksjon

$a$ er $y$ -verdien når $x = 0$ , $b = e^{k}$ er vekstfaktoren,

$0 < b < 1$ blå graf, $b > 1$ rød graf.

NB! Det forventes at du skal kunne regne om fra $b = e^{k}$ og fra $e^{k} = b$ .

Regel

Omregning fra $b = e^{k}$ og fra $e^{k} = b$

\begin{array}{l} b^{x} & = {(e^{\ln b})}^{x} = e^{k x}, der k = \ln b \\ e^{k x} & = {(e^{k})}^{x} = b^{x}, der b = e^{k} \end{array}

Videre er en beskrivelse av hvordan funksjonen blir for ulike verdier av $a$ og $b > 0$ .

$a > 0$ og $b > 1$ :: Grafen kommer langs $x$ -aksen og stiger kraftig mot høyre.
$a > 0$ og $0 < b < 1$ :: Grafen avtar kraftig mot høyre og slakker ut langs $x$ -aksen.
$a \in ℝ$ og $b = 1$ :: Grafen er en vannrett linje gjennom $a$ .
$a < 0$ og $b > 1$ :: Grafen kommer langs $x$ -aksen og stuper kraftig ned under $x$ -aksen.
$a < 0$ og $0 < b < 1$ :: Grafen stiger kraftig og slakker ut langs $x$ -aksen.

Generelt har du at $b > 1$ gir en fast prosentvis økning, $0 < b < 1$ gir fast prosentvis reduksjon og $b = 1$ gir ingen endring. Tallet $b = e^{k}$ fungerer som en vekstfaktor. Verdien til $a$ påvirker fortegnet til funksjonsverdiene.

Eksempel 1

Du har funksjonen $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ . Denne skjærer $y$ -aksen i $y = 3$ og vokser eksponentielt. Denne formen for vekst er svært kraftig og referanser til denne grafen brukes også ofte i dagligtale, som når noen snakker om en hendelse som tar helt av!

Grafen til f(x) = 3*2^x fra x = -6 til x = 4

Eksempel 2

Du har funksjonen $f (x) = 3 \cdot 0, 5^{x}$ . Denne skjærer $y$ -aksen i $y = 3$ og avtar eksponentielt. Denne formen for reduksjon er svært kraftig og referanser til denne grafen brukes også ofte i dagligtale.

Grafen til f(x) = 3*0,5^x fra x = -2 til x = 7

Eksempel 3

Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved

f (t) = 2, 50 - 2, 50 \cdot e^{- 0, 012 t},

der $t$ er tiden målt i sekunder, og $f (t)$ er målt i mmol/L. Du får følgende oppgaver:
1.
Hva er konsentrasjonen etter 15 sekunder? Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er $2, 00 mmol/L$ ?
2.
Tegn grafen til $f$ . Hva vil konsentrasjonen nærme seg om reaksjonen pågår veldig lenge?
3.
Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er $2, 00 mmol/L$ ?

1.

For å finne konsentrasjonen etter 15 sekunder setter du inn

t = 15

f (t)

. Du får

\begin{array}{l} f (15) & = 2, 50 - 2, 50 \cdot e^{- 0, 012 \cdot 15} \\ \approx 0, 412 . \end{array}

\begin{array}{l} f (15) = 2, 50 - 2, 50 \cdot e^{- 0, 012 \cdot 15} \approx 0, 412 . \end{array}

Så konsentrasjonen etter 15 sekunder er

0, 412

mmol/L.

Nå skal du finne ut hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er $2, 00$ mmol/L. Da må du løse likningen $f (t) = 2, 00$ . Du setter den opp, og får

2, 50 - 2, 50 \cdot e^{- 0, 012 t} = 2, 00 .

Du trekker fra $2, 50$ på begge sider, og får

- 2, 50 \cdot e^{- 0, 012 t} = - 0, 50 .

Så deler du på $- 2, 50$ , så likningen blir

e^{- 0, 012 t} = 0, 2 .

Nå har du en likning av typen $e^{a} = b$ . Da tar du $\ln$ på begge sider, så du får

- 0, 012 t = \ln 0, 2 = - 1, 61 .

Til slutt deler du på $- 0, 012$ , og finner løsningen

t = \frac{- 1, 61}{- 0, 012} \approx 134 .

Dette betyr at det tar 134 sekunder før konsentrasjonen er $2, 00$ mmol/L.

2.

Først tegner du grafen til

f

. Den ser sånn ut:

Grafen til f(t) = 2,5-2,5e^(-0,012t) med beregnet punkt markert

For å finne ut hva konsentrasjonen nærmer seg om reaksjonen pågår veldig lenge kan du enten se på grafen og se at den går mot $2, 50$ , eller sette inn en skikkelig stor $t$ og få $f (100 000) \approx 2, 50$ . Dette betyr at om reaksjonen går veldig lenge nærmer konsentrasjonen seg $2, 50$ mmol/L. En annen måte du kan si dette på er å si at $y = 2, 5$ er en horisontal asymptote.

3.