Hvordan løse trigonometriske likninger

$House of Math-logo$

Meny

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Geometri>Trigonometri>Trigonometriske setninger>Hvordan løse trigonometriske likninger

I noen likninger er det flere ledd med trigonometriske funksjoner. Du må da bruke de trigonometriske identitetene til å samle $x$ -ene. Her følger noen eksempler på bruk av identiteter i likninger.

Eksempel 1

Likning på formen $a \cos v + b \sin v = 0$

I dette tilfellet deler du på $\cos x \neq 0$ på begge sider av likningen for å få et uttrykk med $\tan x$ . Dette funker fordi $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ . Til slutt må du i dette eksempelet sjekke tilfellet $\cos 2 x = 0$ for å passe på at du ikke mister noen løsninger.
Du skal løse likningen
$Math input error$ (1)

for $x \in [0, 4 π ⟩$ .

\begin{array}{l} 4 \cos 2 x + 4 \sin 2 x & = 0 | : 4 \\ \cos 2 x + \sin 2 x & = 0 | : \cos 2 x \neq 0 \\ \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x} + \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} & = 0 \\ 1 + \tan 2 x & = 0 \\ \tan 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \\ x & = \frac{3 π}{8} + n \cdot \frac{π}{2} \end{array}

I intervallet

[0, 4 π ⟩

gir det løsningene

\begin{array}{l} x \in & {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \\ \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}} . \end{array}

x \in {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}} .

Du må nå sjekke om

\cos 2 x = 0

gir flere løsninger. Merk at

\cos 2 x = 0

er det samme som

\sin 2 x = 1

eller

\sin 2 x = - 1

\begin{array}{l} \sin 2 x & = 1 \\ \lor \\ \sin 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ \lor \\ 2 x & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{π}{4} + n \cdot π \\ \lor \\ x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \end{array}

\begin{array}{l} \sin 2 x & = 1 & \lor & \sin 2 x & = - 1 \\ 2 x & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π & \lor & 2 x & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x & = \frac{π}{4} + n \cdot π & \lor & x & = \frac{3 π}{4} + n \cdot π \end{array}

Fra dette får du følgende løsninger i intervallet

[0, 4 π ⟩

x \in {\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4}, \frac{11 π}{4}, \frac{13 π}{4}, \frac{15 π}{4}}

Du må nå sette prøve på disse svarene i hovedlikningen (1):

$x = \frac{π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{3 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{3 π}{4})) + 4 \sin (2 \cdot \frac{3 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{5 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{5 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{5 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{7 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{7 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{7 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{9 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{9 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{9 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{11 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{11 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{11 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{13 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{13 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{13 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ = 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

$x = \frac{15 π}{4}$ :

\begin{array}{l} V.S & = 4 \cos (2 \cdot \frac{15 π}{4}) + 4 \sin (2 \cdot \frac{15 π}{4}) \\ = 4 \cdot 0 + 4 \cdot (- 1) \\ = - 4 \\ \neq 0 \\ = H.S \end{array}

Likningen (1) har ingen flere løsninger og du kan konkludere med at løsningsmengden i intervallet $[0, 4 π ⟩$ er:

x \in {\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}, \frac{15 π}{8}, \frac{19 π}{8}, \frac{23 π}{8}, \frac{27 π}{8}, \frac{31 π}{8}}

NB! Dette er en svært tungvint måte å sjekke om $\cos 2 x = 0$ gir flere løsninger, men den fører alltid frem! En annen måte å sjekke $\cos 2 x = 0$ er å betrakte hovedlikningen og bruke det du kan om trigonometriske funksjoner til å analysere.

Eksempel 2

Likninger på formen

a \cos (2 x) + b \cos x + c = 0

krever at du bruker identitetene
$\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

og
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 .$

Løs likningen
$\cos (2 x) + \cos x + 1 = 0, x \in [0, 2 π ⟩$

\begin{array}{l} \cos (2 x) + \cos x + 1 & = 0 \\ \cos^{2} x - \sin^{2} x + \cos x + 1 & = 0 \\ \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) + \cos x + 1 & = 0 \\ 2 \cos^{2} x + \cos x & = 0 \\ \cos x (2 \cos x + 1) & = 0 \end{array}

Du bruker nullfaktorregelen og ser på de to likningene

\cos x = 0

2 \cos x + 1 = 0

. Likningen

\cos x = 0

har løsningene

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π, \\ x_{2} & = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π . \end{array}

Likingen $2 \cos x + 1 = 0$ skriver du om som grunnlikningen $\cos x = - \frac{1}{2}$ . Den har løsningene

\begin{array}{l} x_{3} & = \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π, \\ x_{4} & = - \frac{2 π}{3} + n \cdot 2 π . \end{array}

Løsningsmengden for intervallet $[0, 2 π ⟩$ blir dermed

x \in {\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}} .

Eksempel 3

Likninger på formen

a \cos^{2} x - b \sin x = c

krever at du bruker identiteten
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$

og deretter substitusjon.
Løs likningen
$2 \cos^{2} x - \sin x = 1, x \in [0, 2 π ⟩$

\begin{array}{l} 2 (1 - \sin^{2} x) - \sin x & = 1 \\ 2 - 2 \sin^{2} x - \sin x & = 1 \\ - 2 \sin^{2} x - \sin x + 1 & = 0 \end{array}

Du setter

u = \sin x

inn i likningen og får:

- 2 u^{2} - u + 1 = 0 .

Løs andregradslikningen:

u = \frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{- 4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{- 4}

Altså er løsningene

u_{1} = - 1 u_{2} = \frac{1}{2}

Sett nå $\sin x$ inn for $u$ :

\begin{array}{l} \sin x & = - 1 \\ x_{1} & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = π - \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x_{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{4} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ = \frac{5 π}{6} + n \cdot 2 π \end{array}

\begin{array}{l} \sin x & = - 1 & \sin x & = \frac{1}{2} \\ x_{1} & = \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π & x_{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = π - \frac{3 π}{2} + n \cdot 2 π & x_{4} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ = - \frac{π}{2} + n \cdot 2 π & = \frac{5 π}{6} + n \cdot 2 π \end{array}

Løsningsmengden på intervallet

[0, 2 π ⟩

blir dermed:

x \in {\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}}

Legg merke til at $- \frac{π}{2}$ ikke er med i løsningsmengden. Det er fordi den ligger utenfor intervallet du undersøker.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hvordan løse trigonometriske grunnlikninger

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Likning på formen acos⁡v+bsin⁡v=0

Hvordan løse trigonometriske likninger

Likning på formen $a \cos v + b \sin v = 0$