House of Math-logo

Følgende identiteter brukes mye innenfor trigonometri, og du vil se at du får bruk for disse når du løser slike oppgaver.

Formel

Trigonometriske identiteter

1.
cos2α+sin2α=1
2.
sin(α+π2)=cosα
3.
cos(α+π2)=sinα
4.
sin2α=2sinαcosα
5.
cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α
cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α
6.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
7.
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
8.
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
9.
cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ
10.
tanα=sinαcosα

Eksempel 1

Vis at cos(π4+v)=22(cosvsinv)

For å regne ut dette bruker du formelen

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ.

Da blir utregningen:

cos(π4+v)=cosπ4cosvsinπ4sinv=22cosv22sinv=22(cosvsinv).

Eksempel 2

Finn eksaktverdien til sinπ12

For å løse denne oppgaven skriver du at sin(α)=sin(πα) og bruker sammenhengen

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

Da blir utregningen:

sin(π12)=sin(ππ12)=sin(11π12)=sin(π6+3π4)=sin(π6)cos(3π4)+cos(π6)sin(3π4)=12(22)+3222=624

sin(π12)=sin(ππ12)=sin(11π12)=sin(π6+3π4)=sin(π6)cos(3π4)+cos(π6)sin(3π4)=12(22)+3222=624

Eksempel 3

Gitt sinv=32, finn cosv

For å regne ut dette bruker du formelen

cos2α+sin2α=1.

Da blir utregningen:

cos2v+sin2v=1cos2v=1sin2v

Dermed er

cosv=±1sin2v=±1(32)2=±134=±14=±12

Eksempel 4

Gitt cos2v+sin2v=tan2v, finn sinv

For å løse denne må du bruke flere av sammenhengene over for så å løse ut sinv:

2cos2v+sin2v=tan2v1sin2v+sin2v=sin2vcos2v1=sin2vcos2v|cos2vcos2v=sin2v1sin2v=sin2v1=2sin2v|:212=sin2v

cos2v+sin2v=tan2v1sin2v+sin2v=sin2vcos2v1=sin2vcos2v|cos2vcos2v=sin2v1sin2v=sin2v1=2sin2v|:212=sin2v

Dermed er

sinv=±12=±12=±22.

Eksempel 5

Vis at cos(2α)=cos2αsin2α

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg:

cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosαsinαsinα=cos2αsin2α

Q.E.D

Eksempel 6

Vis at sin(2α)=2sinαcosα

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg:

sin(2α)=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαsinα

Q.E.D

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!