Hva er Eulers formel med komplekse tall?

$House of Math-logo$

Logg inn Registrer deg

Tall og måling

Algebra

Geometri

Statistikk og sannsynlighet

Funksjoner

Bevis

Oppslagsverk>Tall og måling>Tall>Komplekse tall>Introduksjon>Hva er Eulers formel med komplekse tall?

Etter å ha innført norm $r$ og argument $𝜃$ kan alle komplekse tall $z = a + b i$ skrives på formen

z = r (\cos 𝜃 + i \sin 𝜃) .

Dette uttrykket brukes til å skrive om komplekse tall fra polarform til kartesisk form.

Et komplekst tall som en rettvinklet trekant.

Når du skriver komplekse tall på denne formen kan du definere eksponentialformen, ofte kalt Eulers formel, til et komplekst tall:

Teori

Eulers formel

For et komplekst tall $z$ med norm $r$ og argument $𝜃$ er eksponentialformen definert til å være

z = r e^{i 𝜃} = r (\cos 𝜃 + i \sin 𝜃) .

På eksponentialform skrives argumentet til $z$ i eksponenten sammen med den imaginære enheten $i$ , og normen til $z$ ganges med eksponentialfunksjonen. Eulers formel danner en viktig sammenheng mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner.

Eksempel 1

Skriv om $z = e^{i π}$ til kartesisk form

Normen $r$ til $z$ er tallet som står foran eksponentialfunksjonen. For $z$ er $r = 1$ . Argumentet $𝜃$ til $z$ er tallet som står sammen med $i$ i eksponenten. For $z$ er $𝜃 = π$ . Ved å bruke Eulers formel kan du skrive om $z$ til kartesisk form $z = a + b i$ der

\begin{array}{l} a & = r \cos 𝜃 = \cos π = - 1 \\ b & = r \sin 𝜃 = \sin π = 0 . \end{array}

Dette betyr at $z = e^{i π} = - 1$ .

Resultatet fra Eksempel 1 kalles ofte Eulers identitet og er et kjent resultat som knytter sammen

π, i, e

- 1

. Eksponentialformen er en kompakt måte å skrive et komplekst tall

z

. Eulers formel brukes til å uttrykke komplekse tall på polarform. Siden alle komplekse tall kan uttrykkes på polarform, kan alle komplekse tall også skrives på eksponentialform.

Eksempel 2

Skriv om $z = \sqrt{3} - i$ til polarform ved å bruke Eulers formel

For å bruke Eulers formel trenger du normen og argumentet til $z$ . Normen til $z$ finner du ved å bruke Pytagoras’ setning:

\begin{array}{l} r & = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}} \\ = \sqrt{3 + 1} \\ = 2 . \end{array}

Videre kan du finne argumentet til $z$ ved å bruke cosinus:

\begin{matrix} 𝜃 = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ ⇓ \\ 𝜃 = \frac{π}{6} eller 𝜃 = \frac{11 π}{6} . \end{matrix}

Siden realdelen til $z$ er positiv og imaginærdelen til $z$ er negativ, ligger $z$ i fjerde kvadrant i det komplekse planet. Argumentet til $z$ er derfor $𝜃 = \frac{11 π}{6}$ . Når du har funnet normen og argumentet til $z$ kan du skrive $z$ på eksponentialform:

z = r e^{i 𝜃} = 2 e^{\frac{11 π}{6} i} .

Når du regner med den komplekse eksponentialfunksjonen kan du bruke vanlige regneregler for potensregning:

Regel

Komplekse eksponentialer

For alle komplekse tall $z = a + b i$ er

\begin{array}{l} e^{z} & = e^{a + b i} \\ = e^{a} \cdot e^{b i} \\ = e^{a} (\cos b + i \sin b) . \end{array}

e^{z} = e^{a + b i} = e^{a} \cdot e^{b i} = e^{a} (\cos b + i \sin b) .

Når du opphøyer

e

i et komplekst tall

z = a + b i

får du et nytt komplekst tall med norm

e^{a}

og argument

b

Eksempel 3

Finn $w = e^{z}$ for det komplekse tallet $z = 3 + i π$

Du finner $w$ ved å bruke regnereglene for komplekse eksponentialer:

\begin{array}{l} w & = e^{z} \\ = e^{3 + i π} \\ = e^{3} \cdot e^{i π} \\ = e^{3} \cdot (- 1) \\ = - e^{3} . \end{array}

w = e^{z} = e^{3 + i π} = e^{3} \cdot e^{i π} = e^{3} \cdot (- 1) = - e^{3} .

Her er Eulers identitet brukt til å skrive om

e^{i π} = - 1

Tenk på dette

Selv om polarform og kartesisk form er ekvivalente måter å skrive samme tall

z

, har de to representasjonsformene ulike styrker og svakheter. Addisjon og subtraksjon av komplekse tall er lettest om tallene er skrevet på kartesisk form. Multiplikasjon og divisjon av komplekse tall er lettest om tallene er skrevet på polarform. Det er derfor veldig viktig å beherske begge representasjonsformene, og kunne bytte mellom dem etter hva som er mest hensiktsmessig.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er norm og argument til et komplekst tall?

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Hva er den komplekskonjugerte?