Komplekse tall kan brukes til å løse problemer som virker å handle om reelle størrelser. Et viktig hjelpemiddel for dette er de Moivres formel.
Formel
For alle naturlige tall
|
De Moivres formel kan bevises med Eulers formel og regler for potensregning:
Eksempel 1
Vis de trigonometriske identitene
|
og
|
ved å bruke de Moivres formel
Siden uttrykkene inneholder
Eulers formel gir deg en sammenheng mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner:
|
Ved å bruke Eulers formel kan du derfor definere uttrykk for cosinus og sinus med komplekse tall.
Teori
For alle komplekse tall
For reelle tall
og
Sammenhengen mellom eksponetsialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene er nyttig i mange sammenhenger. Ofte er det lettere å jobbe med eksponentialfunksjoner enn trigonometriske funksjoner. Når du jobber med trigonometriske funksjoner kan det være en god idé å gå veien innom eksponentialfunksjonen.
Eksempel 2
Kom frem til derivasjonsreglene for sinus og cosinus,
ved å bruke eksponentialfunksjonen
Du skriver først sinus på eksponentialform:
|
Deretter deriverer du begge sider av uttrykket med hensyn på
Det samme kan du gjøre med cosinus på eksponentialform: