House of Math-logo

Komplekse tall kan brukes til å løse problemer som virker å handle om reelle størrelser. Et viktig hjelpemiddel for dette er de Moivres formel.

Formel

De Moivres formel

For alle naturlige tall n er

=(cos𝜃+isin𝜃)n=cos(n𝜃)+isin(n𝜃).

(cos𝜃+isin𝜃)n=cos(n𝜃)+isin(n𝜃).

Ofte blir regnestykker enklere når du flytter eksponenten som i de Moivres formel. Det kan du se i Eksempel 1.

De Moivres formel kan bevises med Eulers formel og regler for potensregning:

=(cos𝜃+isin𝜃)n=(ei𝜃)n=ein𝜃=cos(n𝜃)+isin(n𝜃).

(cos𝜃+isin𝜃)n=(ei𝜃)n=ein𝜃=cos(n𝜃)+isin(n𝜃).

Q.E.D

Eksempel 1

Vis de trigonometriske identitene

cos(2𝜃)=cos2𝜃sin2𝜃

og

sin(2𝜃)=2cos𝜃sin𝜃

ved å bruke de Moivres formel

Siden uttrykkene inneholder cos(2𝜃) og sin(2𝜃), er det lurt å bruke n=2 i de Moivres formel:

=cos(2𝜃)+isin(2𝜃)=(cos𝜃+isin𝜃)2=cos2𝜃+2isin𝜃cos𝜃i+(isin𝜃)2=cos2𝜃+2isin𝜃cos𝜃isin2𝜃=cos2𝜃sin2𝜃+2isin𝜃cos𝜃.

cos(2𝜃)+isin(2𝜃)=(cos𝜃+isin𝜃)2=cos2𝜃+2isin𝜃cos𝜃i+(isin𝜃)2=cos2𝜃+2isin𝜃cos𝜃isin2𝜃=cos2𝜃sin2𝜃+2isin𝜃cos𝜃.

For at denne likningen skal være gyldig må realdelene på begge sider av likhetstegnet være like, og imaginærdelene på begge sider av likhetstegnet være like. Dette gir deg identitene du skulle vise:

cos(2𝜃)=cos2𝜃sin2𝜃,sin(2𝜃)=2sin𝜃cos𝜃.

Q.E.D

Eulers formel gir deg en sammenheng mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner:

rei𝜃=r(cos𝜃+isin𝜃).

Ved å bruke Eulers formel kan du derfor definere uttrykk for cosinus og sinus med komplekse tall.

Teori

Cosinus og sinus med komplekse tall

For alle komplekse tall z gjelder

cosz=eiz+eiz2,sinz=eizeiz2i.

For reelle tall 𝜃 kan vi begrunne definisjonen ved Eulers formel:

ei𝜃+ei𝜃2=cos𝜃+isin𝜃+cos(𝜃)+isin(𝜃)2=cos𝜃+isin𝜃+cos𝜃isin𝜃2= 2cos𝜃 2=cos𝜃,

og

ei𝜃ei𝜃2i=cos𝜃+isin𝜃(cos(𝜃)+isin(𝜃))2i=cos𝜃+isin𝜃cos𝜃+isin𝜃2i= 2 isin𝜃 2 i=sin𝜃.

Q.E.D

Sammenhengen mellom eksponetsialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene er nyttig i mange sammenhenger. Ofte er det lettere å jobbe med eksponentialfunksjoner enn trigonometriske funksjoner. Når du jobber med trigonometriske funksjoner kan det være en god idé å gå veien innom eksponentialfunksjonen.

Eksempel 2

Kom frem til derivasjonsreglene for sinus og cosinus,

(sinx)=cosx(cosx)=sinx,

ved å bruke eksponentialfunksjonen

Du skriver først sinus på eksponentialform:

sinx=eixeix2i.

Deretter deriverer du begge sider av uttrykket med hensyn på x. Husk derivasjonsreglene for eksponentialfunksjonen. Du deriverer den imaginære enheten i som et vanlig tall:

(sinx)=(eixeix2i)=ieix+ieix2i=i(eix+eix)2i=eix+eix2=cosx.

Det samme kan du gjøre med cosinus på eksponentialform:

(cosx)=(eix+eix2)=ieixieix2=i(eixeix)2=i2(eixeix)2i=(eix+eix)2i=sinx.

(cosx)=(eix+eix2)=ieixieix2=i(eixeix)2Utvid brøken med i=i2(eixeix)2iBruk at i2=1=(eix+eix)2i=sinx.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!